toán cực khó đây

[coganghoctapthatgioi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho M=[TEX]\frac{a^2-(b^2+c^2}{2bc}[/TEX] , N=[TEX]\frac{c^2-(b^2+a^2)}{2ab}[/TEX] , P=[TEX]\frac{b^2-(a^2+c^2)}{2ac}[/TEX]
Tìm Min và Max của M,N,P biết M+N+P=-1

 

[thinhrost1]

$M+N+P=-1 \\\Leftrightarrow \dfrac{a^2-(b^2+c^2)}{2bc} + \dfrac{c^2-(b^2+a^2)}{2ab}+\dfrac{b^2-(a^2+c^2)}{2ac}+1=0\\\Leftrightarrow \dfrac{a^3-ab^2+ac^2+c^3-cb^2-ca^2+b^3-a^2b-c^2b+2abc}{2abc}=0\\\Leftrightarrow a^3-ab^2+ac^2+c^3-cb^2-ca^2+b^3-a^2b-c^2b+2abc=0\\\Leftrightarrow -((ab+ac-a^2-ab+ac-bc-c^2+bc+b^2)a+(ab+ac-a^2-ab+ac-bc-c^2+bc+b^2)c-(ab+ac-a^2-ab+ac-bc-c^2+bc+b^2)b)=0\\\Leftrightarrow -(ab+ac-a^2-ab+ac-bc-c^2+bc+b^2)(a+c-b)=0\\\Leftrightarrow -(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)=0$

Nên:

Xét TH: $a+b=c$

Ta có:

$\dfrac{a^2-(b^2+c^2)}{2bc}=\dfrac{a^2-(b^2+(a+b)^2)}{2(a+b)b}=-1$

Xét TH: $a+c=b$

Thì:

$M=\dfrac{a^2-(b^2+c^2)}{2bc}=\dfrac{a^2-((a+c)^2+c^2)}{2(a+c)c}=-1$

Xét TH: $b+c=a$

$M=\dfrac{a^2-(b^2+c^2)}{2bc}=\dfrac{(b+c)^2-(b^2+c^2)}{2bc}=1$

Vậy giá trị lớn nhất của M là 1 khi $b+c=a$ và giá trị nhỏ nhất là $-1$ khi

Tương tự với $N, Q$ ta cũng tìm được giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ nhất là $-1$

Bài toán được giải quyết .