Toán cm nè

[hatrucban5apt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

B1:Tính:
a)2^100-2^99+2^98-2^97+...+2^2-2
b)1/3^2014 -1/3^2013+1/3^2012-1/3^2011+...+1/3^2-1/3+1
B2:CMR
a)A=1/3+1/3^2+1/3^3+...+1/3^99<1/2
b)B=3/1^2.2^2+5/2^2.3^2+7/3^2.4^2+...+19/9^2.10^2<1
c)C=(\frac{1}{3^2}-1).(\frac{1}{4^2}-1).(\frac{1}{5^2}-1)...(\frac{1}{100^2}-1)>\frac{-1}{2}
Các bạn giúp mình làm hết nhé thanks mọi người trước

 

[hoamattroi_3520725127]

Bài 1 :

a) $A = 2^{100} - 2^{99} + 2^{98} - 2^{97} + ... + 2^2 - 2$
$\rightarrow 2A = 2^{101} - 2^{100} + 2^{99} - 2^{98} + ... + 2^3 - 2^2$

$\rightarrow A + 2A = 3A = 2^{101} - 2 \rightarrow A = \dfrac{2^{101} - 2}{3}$

b) $ B = \dfrac{1}{3^{2014}} - \dfrac{1}{3^{2013}} + \dfrac{1}{3^{2012}} - \dfrac{1}{3^{2011}} + ... + \dfrac{1}{3^2} - \dfrac{1}{3} + 1$

$\dfrac{1}{3}B = \dfrac{1}{3^{2015}} - \dfrac{1}{3^{2014}} + \dfrac{1}{3^{2013}} + .... + \dfrac{1}{3^3} - \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{3}B + B = \dfrac{4}{3}B = 1 + \dfrac{1}{3^{2015}} \rightarrow B = \dfrac{3^{2016} + 3}{4. 3^{2015}}$

 

[thinhrost1]

$Bài 2: a)

\dfrac{2A}{3}=\dfrac{1}{3}(1-\dfrac{1}{3})+\dfrac{1}{3^2}(1-\dfrac{1}{3})+...+\dfrac{1}{3^{99}}(1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3^{100}}\\A=\dfrac{2.3^{99}}{3^{101}}. \dfrac{3}{2}= \dfrac{1}{3} <\dfrac{1}{2}$

 

[thinhrost1]

b)B=3/1^2.2^2+5/2^2.3^2+7/3^2.4^2+...+19/9^2.10^2<1

Câu b) Ta có thể mở rộng hơn với: $B=\dfrac{3}{1^2.2^2}+\dfrac{5}{2^2.3^2}+....+ \dfrac{(n+1)^2-n^2}{(n+1)^2.n^2}$

Ta có:

$\dfrac{(n+1)^2-n^2}{(n+1)^2.n^2}$

$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{(n+1)^2}$

$B=\dfrac{3}{1^2.2^2}+\dfrac{5}{2^2.3^2}+....+ \dfrac{(n+1)^2-n^2}{(n+1)^2.n^2}\\\Leftrightarrow B= 1-\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{(n+1)^2}=1-\dfrac{1}{(n+1)^2}<1$

 

[0973573959thuy]

Bài 2 :
c) $C = (\dfrac{1}{3^2} - 1)(\dfrac{1}{4^2} - 1)(\dfrac{1}{5^2} - 1) ... (\dfrac{1}{100^2} - 1)$

$\leftrightarrow C = \dfrac{-8}{3^2}. \dfrac{-15}{4^2}. \dfrac{-24}{5^2}. ... . \dfrac{-9999}{100^2}$

$\leftrightarrow C = \dfrac{-2.4}{3^2}. \dfrac{-3.5}{4^2}.\dfrac{-4.6}{5^2} ... \dfrac{-99.101}{100^2}$

$\leftrightarrow C = (\dfrac{-2}{3}. \dfrac{-3}{4}. \dfrac{-4}{5}... \dfrac{-99}{100})(\dfrac{4}{3}. \dfrac{5}{4}. \dfrac{6}{5}. ... . \dfrac{101}{100})$

Từ 2 đến 99 có 98 số hạng. Như vậy -2. -3. -4 .... - 99 = 2.3.4... 99 (Do tích 2 số âm là 1 số dương nên 98 số này được tách thành 49 nhóm, mỗi nhóm 2 số hạng → Tích 49 nhóm số là 1 số dương)

Vậy $C = \dfrac{2.3.4...99}{3.4.5 ... 100}. \dfrac{4.5.6. ... 101}{3.4.5 ... 100} = \dfrac{2}{100}. \dfrac{101}{3} = \dfrac{202}{300} > \dfrac{-150}{300} = \dfrac{-1}{2}$