toán chuyên trường đại học quốc gia Hà Nội năm nay

[siaky_kotoko]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu II Giả sử a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn đẳng thức (a+b)(b+c)(c+a) = 8abc
Chứng minh rằng
[TEX]\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{a+c} = \frac{3}{4} + \frac{ab}{(a+b)(b+c)} + \frac{bc}{(b+c)(c+a)} + \frac{ca}{(c+a)(a+b)}[/TEX]

Câu III với x,y là các số thực dương thỏa mãn [TEX]x+y \leq 1[/TEX]. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
[TEX]P=(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \sqrt[]{1+x^2 y^2}[/TEX]
:khi (122)::khi (121)::khi (184):

 

[harrypham]

Câu III. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz [LATEX]\sqrt{(4^2+1)(1+x^2y^2)} \ge 4+xy[/LATEX].
Do đó [LATEX]P \ge \frac{1}{ \sqrt{17}} \left( \frac 1x+ \frac 1y \right) \left( 4+xy \right)[/LATEX].
Ta có [LATEX]Q= \left( \frac 1x+ \frac 1y \right) \left( 4+xy \right)= \frac 4x+ y+ \frac 4y+ x [/LATEX].
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có [LATEX]y+ \frac{1}{4y} \ge 1, x+ \frac{1}{4x} \ge 1[/LATEX].
Do đó [LATEX]Q \ge 2+ \frac{15}{4} \left( \frac 1x+ \frac 1y \right) \ge 2+ \frac{15}{x+y} \ge 17[/LATEX].
Vậy [LATEX]P \ge \sqrt{17}[/LATEX].
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [LATEX]x=y= \frac 12[/LATEX].

 

[harrypham]

Câu II Giả sử a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn đẳng thức (a+b)(b+c)(c+a) = 8abc
Chứng minh rằng
[TEX]\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{a+c} = \frac{3}{4} + \frac{ab}{(a+b)(b+c)} + \frac{bc}{(b+c)(c+a)} + \frac{ca}{(c+a)(a+b)} \qquad (1)[/TEX]

Lời giải. Ta có

[LATEX]\begin{array}{l} \dfrac{a}{a+b}- \dfrac{ab}{(a+b)(b+c)} = \dfrac{ac}{(a+b)(b+c)}= \dfrac{c+a}{8b} \\ \dfrac{b}{b+c}- \dfrac{bc}{(b+c)(c+a)}= \dfrac{ab}{(b+c)(c+a)}= \dfrac{a+b}{8c} \\ \dfrac{c}{a+c}- \dfrac{ca}{(c+a)(a+b)}= \dfrac{bc}{(c+a)(a+b)}= \dfrac{b+c}{8a} \end{array}[/LATEX]​

Do đó

[LATEX]\begin{aligned} (1) & \iff \dfrac{c+a}{b}+ \dfrac{a+b}{c}+ \dfrac{b+c}{a}=6 \\ & \iff ac(a+c)+bc(b+c)+ab(a+b)=6abc \\ & \iff (a+b)(b+c)(c+a)=8abc \end{aligned}[/LATEX]​

Ta có đpcm.