Toán chuyên lớp 9

[hocsinhchankinh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,Tìm tất cả số nguyên k sao cho $k=\frac{u}{v}+\frac{v}{u}$( với u,v là số nguyên)
2,Cho m,n là hai số tự nhiên sao cho :
$\sqrt{7}-\frac{m}{n}>0$
CMR:$\sqrt{7}n-m>\frac{1}{m}$
3,Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là số nguyên. Hai trong các số đó là số nguyên tố và hiệu của chúng là 50. Gọi t là độ dài cạnh thứ ba. Chứng minh : t\geq60
__________________________________________________________________________
:khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35):
Còn 29 ngày nữa thôi. Cố lên!!!!

 

[huynhbachkhoa23]

$k=\dfrac{u}{v}+\dfrac{v}{u}$ nên $uv\mid u^2+v^2$
Nếu $p$ là một ước số nguyên tố bất kỳ của $u$, khi đó $p\mid u$ nên $p\mid uv$
Suy ra $p\mid u^2+v^2$ nên $p\mid v$. Vậy $p$ cũng là ước của $v$
Đặt $u=pu_1$ và $v=pv_1$ thì ta có $u_1v_1\mid u_1^2+v_1^2$
Do đó $|u|=|v|$. Vậy $k=2$ hoặc $k=-2$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2. Ta có $7n^2>m^2$, có $m^2+1\equiv \{1,2,3,5\}$ và $m^2+2\equiv \{2,3,4,6\}$ theo modulo $7$ nên $7n^2\ge m^2+3$
Ta cần chứng minh $\sqrt{7}n>m+\dfrac{1}{m}$
Nếu $m=1$ thì hiên nhiên đúng do $\sqrt{7}>2$
Nếu $m>1$ thì do $7n^2\ge m^2+3$ ta cần chứng minh $m^2+3>m^2+\dfrac{1}{m^2}+2$ hay $m^2>1$ luôn đúng.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 3. Gọi $a,b$ là độ dài hai cạnh nói trước với $b>a$
Nếu $t$ là độ dài cạnh huyền thì $b-a=50$ nên $a,b$ cùng lẻ do $a,b$ có một số nguyên tố. Ta còn có $t^2=2(a^2+50a+1250)$ chia hết cho $2$ nhưng không chia hết cho $4$
Vậy $b$ là cạnh huyền nên $b^2=a^2+t^2$ hay $t^2=50(a+b)$
Suy ra $a+b=2k^2>50$ nên $k>5$ nên $k\ge 6$ nên $t\ge 60$
Đẳng thức xảy ra khi .....