Toán chuyên lớp 9

[hocsinhchankinh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Trong một giải bóng đá có 12 đội tham dự, thi đấu vòng tròn một lượt ( hai đội bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận)
a, Chứng minh rằng sau 4 vòng đấu (mỗi đội thi đấu đúng 4 trận ) luôn tìm được ba đội đôi một chưa thi đấu với nhau
b, Khẳng định trên còn đúng không nếu mỗi đội đã thi đấu đúng 5 trận.
2.a,Cho a,b,c là ba số thực thoả mãn : $a+b+c=a^3+b^3+c^3=0$
Chứng minh rằng trong ba số a,b,c có ít nhất một số bằng 0
b, Giải hệ
[tex]\left\{ \begin{array}{l} x+y+z = 3 \\ xy+yz+xz=-1\\x^3+y^3 +z^3+6= 3(x^2+y^2+z^2) \end{array} \right.[/tex]
__________________________________________________________________________
:khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35):
Còn 30 ngày nữa thôi cố lên nào

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1.
(a) Gọi các đội là $A_1, A_2,...,A_12$
Giả sử ba đội bất kỳ thì tồn tại hai đội đã thi đấu với nhau.
Xét $A_1$ đã đấu với $A_2, A_3, A_4, A_5$
Xét $A_1,A_6$ và đội $A_i$ với $i\in\{7,8,9,10,11,12\}$
Do $A_1$ không đấu với $A_6$ và $A_i$ nên $A_6$ đã đấu hết với $A_i$ hay $A_6$ đấu không ít hơn $6$ trận vô lý vì $A_6$ chỉ đấu đúng $4$ trận.
Vậy sẽ tồn tại ba đội sao cho hai đội bất kỳ trong đó sẽ chưa đấu với nhau.
(b) $\{A_1, A_2,...,A_5,A_6\}$ và $\{A_7,...,A_12\}$, các đội trong cùng một tập hợp đã đấu với nhau
Theo nguyên lý Dỉichlet, trong ba đội bất kỳ luôn tồn tại hai đội cùng một tập hợp. Vậy kết luận là không đúng.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2.
(a) Do $a+b+c=0$ nên $a^3+b^3+c^3=3abc=0$
Do đó trong $a,b,c$ tông tại một số bằng $0$
(b) Đặt $a=x-1, b=y-1, c=z-1$ thì $a+b+c=0$.
Ta có $x^3+y^3+z^3+6=3(x^2+y^2+z^2)$ nên $(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3-3(x+y+z)+9=0$ hay $a^3+b^3+c^3=0$
Theo câu (a) thì trong $a,b,c$ tồn tại một số bằng $0$, giả sử $a=0$, khi đó $x=1$
Thay vào phương trình đầu ta có $y+z=2$ và $yz=-3$, giải hệ này ra được các nghiệm:
$(x,y,z)=(-1,1,3)$ và các hoán vị