Toán chuyên lớp 9

[hocsinhchankinh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho 2 số dương m,n có tổng bằng 5. Tìm GTNN của $P=\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$
2.Chứng minh rằng số $k^5-5k^3-6k$ chia hết cho 10
3.TÌm tất cả các số nguyên p sao cho tổng tất cả các ước của $p^4$ là bình phương của một số nguyên
__________________________________________________________________
:khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35):
Ai biết cách tìm điểm rơi trong bất dẳng thức thì chỉ mình luôn nha

 

[luongpham2000]

$3.$
Ta có: $σ (p^4)=1+p+p^2+p^3+p^4~~(p>0)$
Giả sử: $σ (p^4)=1+p+p^2+p^3+p^4=n^2$
\Rightarrow $4+4p+4p^2+4p^3+4p^4=4n^2$
Dễ thấy: $(2p^2+p)^2<(2n)^2<(2p^2+p+2)^2$
Nên: $(2n)^2=(2p^2+p+1)^2$
\Rightarrow $4+4p+4p^2+4p^3+4p^4=4p^4+4p^3+5p^2+2p+1$
\Leftrightarrow $p^2+2p-3=0$ \Leftrightarrow $p=-1$ (loại); $p=3$ (thỏa mãn)
Với $p=3$, ta có: $σ(3^4)=1+3+3^2+3^3+3^4=121=11^2$
\Rightarrow $p$ thỏa mãn yêu cầu bài toán..

 

[huynhbachkhoa23]

$3.$
Ta có: $\delta (p^4)=1+p+p^2+p^3+p^4~~(p>0)$
Giả sử: $\delta (p^4)=1+p+p^2+p^3+p^4=n^2$
\Rightarrow $4+4p+4p^2+4p^3+4p^4=4n^2$
Dễ thấy: $(2p^2+p)^2<(2n)^2<(2p^2+p+2)^2$
Nên: $(2n)^2=(2p^2+p+1)^2$
\Rightarrow $4+4p+4p^2+4p^3+4p^4=4p^4+4p^3+5p^2+2p+1$
\Leftrightarrow $p^2+2p-3=0$ \Leftrightarrow $p=-1$ (loại); $p=3$ (thỏa mãn)
Với $p=3$, ta có: $\delta(3^4)=1+3+3^2+3^3+3^4=121=11^2$
\Rightarrow $p$ thỏa mãn yêu cầu bài toán..

Nếu $p$ là số nguyên tố mình đồng ý dòng màu đỏ. Nếu $p$ là hợp số thì dòng màu đỏ sai.
Còn ký hiệu tổng ước là $σ(n)$

 

[koumancu]

câu dễ:
1/ [TEX]\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\geq\frac{4}{m+n}=\frac{4}{5}[/TEX]
Min = 4/5 khi [TEX]m=n=\frac{5}{2}[/TEX]

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2. $k^5-5k^3-6k=k(k^4-5k^2-6)=k(k^2+1)(k^2-6)$
$k^2+1+k^2-6=2k^2-5$ là số lẻ nên tồn tại một số chẵn trong hai số $k^2+1, k^2-6$
Nếu $5\mid k$ thì kết luận bài toán đúng.
Nếu $5\nmid k$ thì $k^2\equiv \pm 1\pmod{5}$ nên $5\mid (k^2+1)(k^2-6)$
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.