Toán chuyên đề chia hết

W

white_rose_161

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Viết số 1995^1995 thành tổng của nhiều số tự nhiên. Tổng các lập phương của các số tự nhiên đó chia cho 6 dư bao nhiêu?
2)CM rằng:
a)A=1^2+2^2+3^2+4^2+...+100^2 không là số chính phương.
b)A=1+3+5+7+...+n(n lẻ) là số chính phương
c)Tích của 2 số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.
d)Tổng của 2 số chính phương lẻ không là số chính phương.
3)Nếu các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn điều kiện a^2+b^2=c^2 thì abc chia hết cho bao nhiêu?
4)CM rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho 2003^k -1 chia hết cho 51.
5)CM 2^51 -1 chia hết cho 7.
6)Tìm số dư khi chia (n^3 -1)^111.(n^2 -1)^333 cho n(n thuộc N)
Mình học lớp chọn nên thầy mới giao một đống nâng cao về nhà làm đó.Sáng mai là phải lên lớp trình bày. Mình chỉ đăng một số bài tiêu biểu thôi !:)
 
C

callalily

làm mấy bài dễ dễ trước đã
2,a,bài này bạn có thể tính ra = [TEX]{\frac{100.101.201}{6}[/TEX] rồi tính bằng mấy tính là ra thôi
d, gọi hai số đó là a,b => a có dạng 2k+1 và b có dang 2m+1
=> [TEX]a^2+b^2=(2k+1)^2 + (2m+1)^2 [/TEX]
= [TEX] 4k^2 + 4k+1+4m^2+4m+1[/TEX]
=[TEX] 4(k^2+k+m^2+m) + 2 [/TEX] => [TEX]a^2+b^2 [/TEX] có dạng 4.Q+2 => là số CP
 
H

harrypham

1. Giả sử [TEX]1995^{1995}=a_1+a_2+ \cdots + a_n[/TEX].
Ta chứng minh bổ đề:

Bổ đề 1. Nếu [TEX]n \ in \mathbb{Z}[/TEX] thì [TEX]n^3-n \ \vdots 6[/TEX].
Thật vậy [TEX]n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)n(n+1)[/TEX].
Ta có [TEX]n-1,n,n+1[/TEX] là tích ba số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho [TEX]2[/TEX], số chia hết cho [TEX]3[/TEX], do đó tích chúng chia hết cho [TEX]2[/TEX] và chia hết cho [TEX]3[/TEX].
Vì [TEX](2,3)=1[/TEX] nên [TEX](n-1)n(n+1 \vdots 6[/TEX].

Bổ đề 2. Với [TEX]n \in \mathbb{N^*}[/TEX] thì [TEX]3^n \equiv 3 \pmod{6}[/TEX].
Ta có [TEX]A=3^n-3=3(3^{n-1}-1)[/TEX] chia hết cho [TEX]3[/TEX].
Lại có [TEX]A[/TEX] chẵn nên [TEX]A \vdots 6 \Rightarrow 3^n \equiv 3 \pmod{6}[/TEX]
Quay lại bài toán: Ta có [TEX]A= (a_1^3+a_2^3+ \cdots + a_n^3)-(a_1+a_2+a_3+ \cdots + a_n)[/TEX]
[TEX]= (a_1^3-a_1)+(a_2^3-a_2)+ \cdots + (a_n^3-a_n)[/TEX] chia hết cho 6.
Nên [TEX]a_1^3+a_2^3+ \cdots + a_n^3[/TEX] và [TEX]a_1+ \cdots + a_n[/TEX] có cùng số dư khi chia cho 6.
Mà [TEX]a_1+ \cdots +a_n=1995^{1995}[/TEX], lại có [TEX]1995 \equiv 3 \pmod{6} \Rightarrow 1995^{1995} \equiv 3^{1995} \equiv 3 \pmod{6}[/TEX], tức [TEX]1995^{1995}[/TEX] chia 6 dư 3.

Suy ra [TEX]a_1^3+ \cdots + a_n^3[/TEX] cũng chia 6 dư 3.

2. c, Gọi hai số là [TEX]n,n+1[/TEX] với [TEX]n \in \mathbb{N}^*[/TEX].
Ta có [TEX]n^2<n(n+1)<(n+1)^2[/TEX] nên [TEX]n(n+1)[/TEX] không là số chính phương.

a, [TEX]B=1^2+2^2+ \cdots + n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/TEX].
Thay vào rồi tính.
b, Tương tự.

3. [TEX]a^2+b^2=c^2[/TEX].
Áp dụng tính chất [TEX]a^2 \equiv 0,1 \pmod{3},a^2 \equiv 0,1,4 \pmod{5}[/TEX] và [TEX]a^2 \equiv 0,1,4 \pmod{8}[/TEX], ta sẽ luôn có [TEX]abc \vdots 60[/TEX].

4. Xét 52 số:
[TEX]2003^1,2003^2,2003^3, \cdots , 2003^{52}[/TEX].
Lấy 52 số này chia cho [TEX]51[/TEX] nhận được 52 số dư. Mà một số chia cho 51 chỉ có thể nhận 51 số dư [TEX]\{ 0,1,2,...,50 \}[/TEX] nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại hai trong 52 số trên chia cho 51 có cùng số dư.
Gỉa sử hai số đó là [TEX]2003^{m+n}[/TEX] và [TEX]2003^n[/TEX] với [TEX]m,n \in \mathbb{N}; m,n \le 52[/TEX].
Khi đó [TEX]2003^{m+n}-2003^n=2003^n(2003^m-1)[/TEX] chia hết cho [TEX]51[/TEX].
Vì [TEX](2003,51)=1[/TEX] nên [TEX]2003^m-1[/TEX] chia hết cho 51.
Vậy tồn tại số tự nhiên thỏa mãn.

5. [TEX]2^{51}-1=(2^3)^{17}-1[/TEX].
Ta có [TEX]2^3 \equiv 1 \pmod{7} \Rightarrow (2^3)^{17} \equiv 1 \pmod{7} \Rightarrow 2^{51}-1 \equiv 1-1 \equiv 0 \pmod{7}[/TEX].
Vậy [TEX]2^{51}-1[/TEX] chia hết cho 7.

6.
 
Last edited by a moderator:
T

tieu_phong_than

Còn thiếu bài 6

$(n^3 -1)^{111}(n^2 -1)^{333}=(n-1)^{111}.(n^2+n+1)^{111}$

$(n-1)^{333}.{n+1}^333 \equiv (-1)^{444}.1^{444}=2$

Vậy $(n^3 -1)^{111}.(n^2 -1)^{333}$ chia n dư 3
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom