Toán 8 Toán chứng minh

[Nam Quốc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số a,b,c thỏa mãn a+b+c=[tex]\frac{3}{2}[/tex]
Chứng minh [tex]a^2+b^2+c^2 \geq \frac{3}{4}[/tex] .
Các bạn có thể nêu phương pháp giải dạng toán trên được không .
Thầy mình đã giải nhưng mình vẫn không hiểu , mong các bạn giúp đỡ .
Cảm ơn nhiều.

 

[Hoàng Vũ Nghị]

C1:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
[tex]\frac{9}{4}=(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)\\\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{3}{4}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]a=b=c=\frac{1}{2}[/tex]
C2:
Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có
[tex](a^2+\frac{1}{4})+(b^2+\frac{1}{4})+(c^2+\frac{1}{4})\\\geq 2\sqrt{\frac{a^2}{4}}+ 2\sqrt{\frac{b^2}{4}}+ 2\sqrt{\frac{c^2}{4}}=a+b+c=\frac{3}{2}\\\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]a=b=c=\frac{1}{2}[/tex]

 

[Nguyễn Quế Sơn]

Cho các số a,b,c thỏa mãn a+b+c=[tex]\frac{3}{2}[/tex]
Chứng minh [tex]a^2+b^2+c^2 \geq \frac{3}{4}[/tex] .
Các bạn có thể nêu phương pháp giải dạng toán trên được không .
Thầy mình đã giải nhưng mình vẫn không hiểu , mong các bạn giúp đỡ .
Cảm ơn nhiều.

C1:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
[tex]\frac{9}{4}=(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)\\\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{3}{4}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]a=b=c=\frac{1}{2}[/tex]
C2:
Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có
[tex](a^2+\frac{1}{4})+(b^2+\frac{1}{4})+(c^2+\frac{1}{4})\\\geq 2\sqrt{\frac{a^2}{4}}+ 2\sqrt{\frac{b^2}{4}}+ 2\sqrt{\frac{c^2}{4}}=a+b+c=\frac{3}{2}\\\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]a=b=c=\frac{1}{2}[/tex]

Cách khác:
Đặt [tex]a=\frac{1}{2}+x; b=\frac{1}{2}+y;c=\frac{1}{2}+z[/tex]
[tex]\Rightarrow x+y+z=0[/tex]
Ta có: [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}=(\frac{1}{2}+x)^{2}+(\frac{1}{2}+y)^{2}+(\frac{1}{2}+z)^{2}=\frac{3}{4}+x+y+z+x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \frac{3}{4}(dpcm)[/tex]