a) Vì OH vuông góc BC tại H nên H là trung điểm của BC (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây của đường tròn)
[tex]\Rightarrow HC = HB = \frac{BC}{2}[/tex]
Xét [tex]\Delta OBC[/tex] có:
HC = HB = [tex]\frac{BC}{2}[/tex]
OH vuông góc BC
[tex]\Rightarrow \Delta OBC[/tex] cân tại O
[tex]\Rightarrow[/tex] OH cx là tia p/g của [tex]\widehat{BOC}[/tex]
[tex]\Rightarrow \widehat{BOH} = \widehat{HOC}[/tex]
Vì CM là tiếp tuyến của (O) nên CM vuông góc với OC
[tex]\Rightarrow \widehat{OCM} = 90^{\circ}[/tex]
Xét [tex]\Delta OCM[/tex] và [tex]\Delta OBM[/tex] có:
OC = OB (= bán kính của (O))
[tex]\widehat{COM} = \widehat{BOM}[/tex]
OM chung
[tex]\Rightarrow \Delta OCM = \Delta OBM (c - g - c)
\Rightarrow \widehat{OCM} = \widehat{OBM} = 90^{\circ}
\Rightarrow[/tex] BM vuông góc OB tại B
[tex]\Rightarrow[/tex] BM là tiếp tuyến của (O; OB)
b) Ta có: AN = CN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
CM = BM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Vì AN là tiếp tuyến của (O) nên AN vuông góc OA hay AN vuông góc AB
mà BM vuông góc AB (BM vuông góc OB)
[tex]\Rightarrow[/tex] AN // BM
Vì AN // BM nên áp dụng hệ quả định lí Ta lét, ta có:
[tex]\frac{AN}{BM} = \frac{IN}{IB}[/tex]
mà AN = CN; BM = CM
[tex]\Rightarrow \frac{CN}{CM} = \frac{IN}{IB}
\Rightarrow[/tex] CI // BM (định lí Ta lét đảo)
mà BM // AN
[tex]\Rightarrow[/tex] AN // CI
c) Vì AN // BM nên áp dụng định lí Ta lét ta có:
[tex]\frac{IN}{IB} = \frac{IA}{IM}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 1 + \frac{IN}{IB} = 1 + \frac{IA}{IM} \Leftrightarrow \frac{BN}{IB} = \frac{AM}{IM} \Leftrightarrow \frac{IB}{BN} = \frac{IM}{AM}[/tex] (1)
Vì CI // AN nên áp dụng hệ quả của định lí Ta lét vào [tex]\Delta AMN[/tex], ta có:
[tex]\frac{CI}{AN} = \frac{IM}{AM}[/tex] (2)
Vì K là giao điểm của CI với AB nên IK // AN
[tex]\Rightarrow \frac{IK}{AN} = \frac{IB}{BN}[/tex] (hệ quả định lí Ta lét) (3)
Từ (1), (2) và (3) [tex]\Rightarrow \frac{IC}{AN} = \frac{IK}{AN} \Rightarrow IC = IK \rightarrow[/tex] đpcm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
