Toán 9 Toán chứng minh

[Hàn Thiên_Băng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x, y là 2 số thực dương. Chứng minh rằng: [tex]\frac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{x+y}-\frac{x+y}{2}\leq \frac{1}{4}[/tex]

 

[Kaito Kidㅤ]

[tex]\frac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{x+y}-\frac{x+y}{2}\leq \frac{\sqrt{2xy(x+y)}}{x+y}-\frac{x+y}{2}\leq \frac{(x+y)\sqrt{\frac{x+y}{2}}}{x+y}-\frac{x+y}{2}=\sqrt{\frac{x+y}{2}}-\frac{x+y}{2}[/tex]
Đặt x+y=t có:
[tex]\sqrt{\frac{t}{2}}-\frac{t}{2}-\frac{1}{4}=\frac{-1}{4}(\sqrt{2t}-1)^2 \leq 0 \\\rightarrow \sqrt{\frac{t}{2}}-\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\leq 0 \\\rightarrow \sqrt{\frac{t}{2}}-\frac{t}{2}\leq \frac{1}{4}[/tex]
Suy ra Dpcm
chắc vậy

 

[Tiểu Linh Hàn]

Bài này khá khó và khắm
Nếu bạn đã làm qua sách Nâng cao và Phát triển Toán 9 tập 1 thì bài này thuộc chuyên đề Bất đẳng thức, bài tập số 107* (khó) trang 45
Còn nếu chưa làm thì...
Do a, b dương nên ad bđt Cauchy ta có:
Ta lại có:

Hiệu này ko âm (dễ CM mà ), kết hợp với bđt bên trên ta có

 

[Tiểu Linh Hàn]

À quên thay a và b thành x và y giùm mình :v