toán chứng minh

[math012]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

nếu $(x-y)^2$+$(y-z)^2$+$(z-x)^2$=$(x+y-2z)^2$+$(y+z-2x)^2$+$(x+z-2y)^2$
thì x=y=z

 

[eye_smile]

Từ GT
\Rightarrow ${(x-y)^2}-{(x+y-2z)^2}+{(y-z)^2}-{(y+z-2x)^2}+{(z-x)^2}-{(z+x-2y)^2}=0$

\Leftrightarrow $(x-y-x-y+2z)(x-y+x+y-2z)+(y-z-y-z+2x)(y-z+y+z-2x)+(z-x-z-x+2y)(z-x+z+x-2y)=0$

\Leftrightarrow $4(z-y)(x-z)+4(x-z)(y-x)+4(y-x)(z-y)=0$

\Leftrightarrow $(z-y)(x-z)+(x-z)(y-x)+(y-x)(z-y)=0$

\Leftrightarrow ${x^2}+{y^2}+{z^2}-xy-yz-zx=0$

\Leftrightarrow ${(x-y)^2}+{(y-z)^2}+{(z-x)^2}=0$

\Rightarrow x=y=z

 

[congchuaanhsang]

Đặt $a=x-y$ ; $b=y-z$ ; $c=z-x$ ta được:

$a^2+b^2+c^2-(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2$

\Leftrightarrow $a^2+b^2+c^2=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)$

\Leftrightarrow $a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)$

Thay vào khai triển ra sẽ được $x=y=z$