Toán chứng minh

[hien_vuthithanh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số a,b,c thoả mãn 0<a<b và ph­ương trình a$x^2$+bx+c=0 vô nghiệm .
CMR:$\dfrac{a+b+c}{b-a}$>3

 

[eye_smile]

Ta cần c/m:
$\dfrac{a+b+c}{b-a}>3$
\Leftrightarrow $a+b+c>3b-3a$
\Leftrightarrow $4a+c>2b$
Do phương trình $a{x^2}+bx+c=0$ vô nghiệm nên $\Delta={b^2}-4ac<0$
\Rightarrow ${b^2}<4ac$
\Leftrightarrow $4{b^2}<4.4a.c$ \leq ${(4a+c)^2}$
\Leftrightarrow $2b<4a+c$
\Rightarrow đpcm

 

[pe_lun_hp]

TĐB : $0 < a < b \Rightarrow \left\{\begin{matrix}c>0 \\ b-a > 0 \end{matrix}\right.$

( Cần cm cái này để khi bình phương bất pt luôn đúng ).

Pt vn tức : $\Delta < 0 \Leftrightarrow 4b^2 < 16ac$

Cần cm :

$\dfrac{a + b + c}{ b - a} > 3$

$\Rightarrow 4a +c > 2b $

$ \Leftrightarrow 16a^2+c^2+8ac > 4b^2 \ \ \ \ (1) $

Đánh giá (1) đúng.

Hiển nhiên : $ 16a^2 - 8ac +c^2 = (4a-c)^2 \geq 0 $

$\Rightarrow 16a^2 + c^2+8ac \geq 16ac > 4b^2 \ \ \ \ \Rightarrow (1) True$