Toán chứng minh và tính giá trị

[nhokngok2]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: [TEX]Cho a^3+b^3+c^3 = 3abc[/TEX] với a,b,c khác 0 và a+b+c khác 0.
Tính [TEX]P = (2006+\frac{a}{b})(2006+\frac{b}{c})(2006+\frac{c}{a})[/TEX]

Bài 2: Chứng minh rằng: [TEX]1+\frac{1}{\sqrt{2}} +\frac{1}{\sqrt{3}} + .... + \frac{1}{\sqrt{n}} > 2(\sqrt{n+1} - 1)[/TEX].

Bài 3: Cho a,b,c > 0. Chứng minh [TEX]\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}[/TEX].

Bài 4: Cho x\geq 0, y\geq 0 thỏa mãn [TEX]2\sqrt{x} -\sqrt{y} = 1[/TEX]. Chứng minh rằng [TEX]x+y \geq \frac{1}{5}[/TEX].

Bài 5: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức [TEX]A = \sqrt{3x-5} + \sqrt{7-3x}[/TEX].

Bài 6: Tính giá trị nhỏ nhất của [TEX]A = \frac{x^2 - 2x + 2006}{x^2}[/TEX].

Bài 7: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn [TEX]ab+bc+ca = 1[/TEX]. Tính giá trị của biểu thức: [TEX]S = a\sqrt{\frac{(1+b^2)(1+c^2)}{1+a^2}} + b\sqrt{\frac{(1+c^2)(1+a^2)}{1+b^2}} + c\sqrt{\frac{(1+a^2)(1+b^2)}{1+c^2}}[/TEX].

Bài 8: Cho biểu thức: [TEX]A = \frac{x^2+2x+3}{(x+2)^2}[/TEX]. Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

Bài 9: Giải phương trình: [TEX]\sqrt{3x^2+6x+7} + \sqrt{5x^2+10x+14} = 4 - 2x - x^2[/TEX].

 

[transformers123]

Bài 3:

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}= \dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ab}+\dfrac{c^2}{ca+bc} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)} \ge \dfrac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)} = \dfrac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

 

[transformers123]

Bài 6:

$A=\dfrac{x^2-2x+2006}{x^2}$

$\iff 2006A=\dfrac{2005x^2}{x^2}+\dfrac{x^2-2.2006.x+2006^2}{x^2}$

$\iff 2006A=2005+\dfrac{(x-2006)^2}{x^2}$

$\Longrightarrow 2006A \ge 2005$

$\iff A \ge \dfrac{2005}{2006}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=2006$

 

[transformers123]

Bài 1:

$a^3+b^3+c^3=3abc$

$\iff (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0$

$\iff a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$ (vì $a+b+c \not = 0$)

$\iff \dfrac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]=0$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b= c$

Thay $a=b=c$ vào $P$, ta có:

$P=(2006+1)(2006+1)(2006+1)$

$\iff P=2007^3$

 

[transformers123]

Bài 5:

$A^2=(\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x})^2$

$\Longrightarrow A^2 \le (1^2+1^2)(3x-5+7-3x)$ (bđt Bunhia)

$\iff A^2 \le 2.2$

$\iff A \le 2$

Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{\sqrt{3x-5}}{1}=\dfrac{sqrt{7-3x}}{1} \iff 3x-5=7-3x \iff x=2$

 

[eye_smile]

2,Ta có:

$\dfrac{1}{\sqrt{a}}=\dfrac{2}{2\sqrt{a}}>\dfrac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}}=2(\sqrt{a+1}-\sqrt{a})$

AD vào,ta đc:

$1+\dfrac{1}{\sqrt{2}} +\dfrac{1}{\sqrt{3}} + .... + \dfrac{1}{\sqrt{n}}>2(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=2(\sqrt{n+1}-1)$

 

[eye_smile]

4,$1=(2\sqrt{x}-\sqrt{y})^2=[2\sqrt{x}+(-1)\sqrt{y}]^2 \le (2^2+1)(x+y)=5(x+y)$

\Rightarrow $x+y \ge \dfrac{1}{5}$

 

[eye_smile]

7,$a^2+1=a^2+ab+bc+ca=(a+b)(a+c)$

$b^2+1=b^2+ab+bc+ca=(b+a)(b+c)$

$c^2+1=c^2+ab+bc+ca=(c+a)(c+b)$

\Rightarrow $S=a\sqrt{\dfrac{(b+c)(b+a)(c+b)(c+a)}{(a+b)(a+c)}}+b\sqrt{\dfrac{(c+a)(c+b)(a+b)(a+c)}{(b+a)(b+c)}}+c\sqrt{\dfrac{(a+b)(a+c)(b+a)(b+c)}{(c+a)(c+b)}}=a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)=2(ab+bc+ca)=2$

 

[eye_smile]

8,$A=\dfrac{x^2+2x+3}{(x+2)^2}=\dfrac{\dfrac{2}{3}(x^2+4x+4)+\dfrac{1}{3}(x^2-2x+1)}{(x+2)^2}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{(x-1)^2}{3(x+2)^2}\ge \dfrac{2}{3}$



9,$\sqrt{3x^2+6x+7}=\sqrt{3(x+1)^2+4} \ge 2$

$\sqrt{5x^2+10x+14}=\sqrt{5(x+1)^2+9} \ge 3$

\Rightarrow $VP \ge 5$

$VP= 4-2x-x^2=5-(x+1)^2 \le 5$

\Rightarrow $VT=VP=5$

\Leftrightarrow $x=-1$