toán chứng minh khó

[su10112000a]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a,b,c>0$. Chứng tỏ rằng giá trị của:
$N=\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}$ không phải là số nguyên.

 

[forum_]

Cho $a,b,c>0$. Chứng tỏ rằng giá trị của:
$N=\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}$ không phải là số nguyên.

Ta có 1 số bất đẳng thức phụ:

Nếu có m >0 thì

+/ $\dfrac{a}{b}$ < $\dfrac{a+m}{b+m}$

+/ $\dfrac{a}{b}$ > $\dfrac{a}{b+m}$

(Dễ dàng chứng minh đc = PP tương đương)

Áp dụng:

Ta có: $\dfrac{a}{a+b+c}$ > $\dfrac{a}{a+b+c+d}$

Tương tự rồi cộng lại suy ra N < 1 (1)

Ta có: $\dfrac{a}{a+b+c}$ < $\dfrac{a+d}{a+b+c+d}$

$\dfrac{b}{b+c+d}$ < $\dfrac{b+a}{b+a+c+d}$

$\dfrac{c}{c+a+d}$ < $\dfrac{c+b}{d+a+b+c}$

$\dfrac{d}{d+a+b}$ < $\dfrac{d+c}{a+b+c+d}$

Cộng lại suy ra N < 2 (2)

Từ (1) và (2) ta đc ĐPCM

 

[su10112000a]

Ta có 1 số bất đẳng thức phụ:

Nếu có m >0 thì

+/ $\dfrac{a}{b}$ < $\dfrac{a+m}{b+m}$

+/ $\dfrac{a}{b}$ > $\dfrac{a}{b+m}$

(Dễ dàng chứng minh đc = PP tương đương)

Áp dụng:

Ta có: $\dfrac{a}{a+b+c}$ > $\dfrac{a}{a+b+c+d}$

Tương tự rồi cộng lại suy ra N < 1 (1)

Ta có: $\dfrac{a}{a+b+c}$ < $\dfrac{a+d}{a+b+c+d}$

$\dfrac{b}{b+c+d}$ < $\dfrac{b+a}{b+a+c+d}$

$\dfrac{c}{c+a+d}$ < $\dfrac{c+b}{d+a+b+c}$

$\dfrac{d}{d+a+b}$ < $\dfrac{d+c}{a+b+c+d}$

Cộng lại suy ra N < 2 (2)

Từ (1) và (2) ta đc ĐPCM

ngược dấu rồi chị=)), nhưng cũng cảm ơn chị nhiều............