Toán Toán chứng minh +Giải phương trình

[Ann Lee]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho n là số nguyên không chia hết cho 3. Chứng minh rằng:
[tex]P=3^{2n}+3^{n}+1[/tex] chia hết cho 13
Bài 2: Cho x,y,z là các số khác 0. CMR: Nếu [tex]x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0[/tex] thì
[tex]\frac{x^{6}+y^{6}+z^{6}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}=xyz[/tex]
Bài 3: Giải pt nghiệm nguyên:
[tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}[/tex]

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 1:
Xét trường hợp $n=3n+1,3n+2$
Lưu ý rằng: $3^3$ chia $13$ dư $1$.
Bài 2:
Từ $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0 \Rightarrow xy+yz+zx=0$
$\dfrac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}
\\=\dfrac{(x^3+y^3+z^3)^2-2(x^3y^3+y^3z^3+x^3z^3)}{x^3+y^3+z^3}
\\=x^3+y^3+z^3-\dfrac{2(x^3y^3+y^3z^3+x^3z^3)}{x^3+y^3+z^3}
\\=x^3+y^3+z^3-3xy+3xy-\dfrac{2(x^3y^3+y^3z^3+x^3z^3-3x^2y^2z^2)+6x^2y^2z^2}{x^3+y^3+z^3}
\\=0+3xy-\dfrac{6x^2y^2z^2}{x^3+y^3+z^3}$
Điều phải chứng minh:
$\dfrac{6x^2y^2z^2}{x^3+y^3+z^3}=2xyz
\\\Rightarrow 6x^2y^2z^2=2xyz(x^3+y^3+z^3)$
Điều này hiển nhiên đúng do:
$2xyz(x^3+y^3+z^3)=2xyz(x^3+y^3+z^3-3xyz+3xyz)=6x^2y^2z^2$
P/s: Ở đây ta sử dụng hđt: $x^3+y^3+z^3-3xy=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
Bài 3: Phương trình tương đương:
$\dfrac{2y+2x+1}{2xy}=\dfrac{1}{2}
\\\Rightarrow 4x+4y+2-2xy=0
\\\Rightarrow 2x+2y+1-xy=0
\\\Rightarrow x(2-y)+2y-4=-5
\\\Rightarrow x(2-y)-2(2-y)=-5
\\\Rightarrow (2-y)(x-2)=-5=-1.5=-5.1$