Toán chứng minh, bất đẳng thức, cực trị 9

[nhokngok2]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a,b là các số dương và [TEX]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2[/TEX]. Tìm giá trị nhỏ nhất của [TEX]Q =\frac{1}{a^4+b^2+2ab^2} + \frac{1}{b^4+a^2+2ba^2} [/TEX].

Bài 2: Chứng minh : [TEX]\frac{\sqrt2 - 1}{3} + \frac{\sqrt3 - \sqrt2}{5} + .... + \frac{\sqrt2016 - \sqrt2015}{4031} \leq \frac{1}{2}[/TEX].


Bài 3: Cho a,b là các số dương thoả mãn [TEX]a^2 + 2b^2 \leq 3c^2[/TEX]. Chứng minh :
[TEX]\frac{1}{a} + \frac{2}{b} \geq \frac{3}{c}[/TEX].


Ai làm được thì mình xin cảm ơn nha

 

[eye_smile]

1,$a^4+b^2 \ge 2a^2b$

\Rightarrow $\dfrac{1}{a^4+2ab^2+b^2} \le \dfrac{1}{2a^2b+2ab^2}=\dfrac{1}{2ab(a+b)}$

Tương tự, có: $\dfrac{1}{b^4+2a^2b+a^2} \le \dfrac{1}{2ab(a+b)}$

\Rightarrow $Q \le \dfrac{1}{ab(a+b)}$

Ta có: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=2$

\Leftrightarrow $a+b=2ab \le \dfrac{(a+b)^2}{2}$

\Leftrightarrow $a+b \ge 2$

\Rightarrow $ab(a+b)=\dfrac{(a+b)^2}{2} \ge 2$

\Rightarrow $Q \le \dfrac{1}{2}$

 

[eye_smile]

3,$\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{2b} \ge \dfrac{9}{a+2b}$

$(a+2b)^2 \le (1+2)(a^2+2b^2) \le 3.3c^2$

\Rightarrow $a+2b \le 3c$

\Rightarrow $\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b} \ge \dfrac{3}{c}$