Toán chia hết

H

hoangbnnx99

B

bengoc273

hoangbnnx99 said:
Bài 1: CMR: B=$(a^{2013}+b^{2013}+c^{2013})$-$(a^{2009}+b^{2009}+c^{2009})$ chia hết cho 30 với mọi số nguyên dương a,b,c
Bài 2: Cho a,b thoả mãn: $b^{2}-4ab$ và $b^{2}+4ab$ đều là số chính phương.
CMR: ab chia hết cho 30
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
1) Ta có[Tex] a^{2013}-a^{2009}=a^2009(a^{2}+1)(a+1)(a-1)[/tex]

[Tex] =a^{2009}[(a-2)(a+2)+5](a+1)(a-1)[/tex]

[Tex] =a^{2009}(a+2)(a+1)(a-1)(a-2)+5.a^{2009}(a+1)(a-1)[/tex] chia hết cho 2.3.5=30 (vì 2,3,5 nguyên tố từng đôi 1)

[Tex]=> a^{2013}-a^{2009}[/tex] chia hết cho 30

Tương tự ta có [Tex]b^{2013}-b^{2009}[/tex] chia hết cho 30

[Tex] c^{2013}-c^{2009}[/tex] chia hết cho 30

Do đó B chia hết cho 30
 
S

soicon_boy_9x

Bài 2:

Giả sử cả a và b đều không chia hết cho 3 ta có $4ab$ không chia hết cho
3

Xét $4ab$ chia 3 dư 1 thì $b^2+4ab \equiv 2 (mod \ \ 3)$ loại vì
$b^2+4ab$ chính phương

Xét $4ab $ chia 3 dư 2 thì $b^2-4ab \equiv 2 (mod \ \ 3)$ loại vì
$b^2-4ab$ chính phương

Vậy $ab \vdots 3$

Giả sử cả a và b đều không chia hết cho 5

$\rightarrow b^2 \equiv 1;-1 (mod \ \ 5)$

Xét $b^2$ chia 5 dư 1

Ta có: $b^2-4ab+b^2+4ab \equiv 2 (mod \ \ 5)$

Vì $b^2-4ab$ và $b^2+4ab$ là 2 số chính phương nên cả 2 số đều chia 5
dư 1

$\rightarrow b^2+4ab-b^2 \vdots 5 \leftrightarrow 4ab \vdots 5$ trái với
giả thiết $a;b$ đều không chia hết cho 3

Vậy $ab \vdots 5$

Giả sử cả a và b đều không chia hết cho 2

Ta có: $b^2$ chia 8 dư 1

Lại có $b^2-4ab$ là số chính phương lẻ nên $b^2-4ab $ chia 8 dư 1

$\rightarrow 4ab \vdots 8 \leftrightarrow ab \vdots 2$. Trái với giả thiết

Vậy $ab \vdots 2$

Vì $(2;3)=1$ và $(6;5)=1$ nên $ab \vdots 30$


 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom