Cho a,b,c là ba số nguyên. Chứng minh a^2012 + b^2013 + c^2014 chia hết cho 6 thì a^2014 + b^2015 + c^2016 cũng chia hết cho 6
[tex]a^{2014}-a^{2012}=a^{2012}(a^{2}-1)=a^{2012}(a-1)(a+1)[/tex]
Xét a=3k (k thuộc Z) => [tex]a^{2012}(a-1)(a+1)=(3k)^{2012}(3k-1)(3k+1)\vdots 6[/tex] ( vì [tex]\left\{\begin{matrix} (3k)^{2012}\vdots 3\\ (3k-1)(3k+1)\vdots 2\\ (2;3)=1 \end{matrix}\right.[/tex] (*)
Xét a=3k+1 (k thuộc Z) [tex]\Rightarrow (3k+1)^{2012}(3k+1-1)(3k+1+1)=(3k+1)^{2012}.3k.(3k+2)\vdots 6[/tex] ( vi nếu k lẻ thì 3k+1 chẵn nên (3k+1)^2012 chia hết cho 2 còn nếu k chẵn thì 3k+2 chẵn và chia hết cho 2) (**)
Xét a=3k+2 ( k thuộc Z) [tex]\rightarrow a^{2012}(a-1)(a+1)=(3k+2)^{2012}(3k+1).3.(k+1)\vdots 6[/tex] ( vì nếu k lẻ thì k+1 chẵn và chia hết cho 2 còn nếu k chẵn thì 3k+2 chẵn nên (3k+2)^2012 chia hết cho 2) (***)
Từ (*) và (**) và (***) => $a^{2014}-a^{2012}\vdots 6$
CMTT: $b^{2014}-b^{2012}\vdots 6$
$c^{2014}-c^{2012}\vdots 6$
=> $a^{2014}-a^{2012} + b^{2014}-b^{2012} + c^{2014}-c^{2012}\vdots 6$
Mà a^2012 + b^2013 + c^2014 chia hết cho 6 => a^2014 + b^2015 + c^2016 cũng chia hết cho 6
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
