toan cap 2

[thuyenbnhv]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c,d dương
cmr: \frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b} \geq 2

 

[nhoc_vip_qk98]

bất đẳng thức nébit 4 biến đây mà

đặt A=[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{a+d}+\frac{d}{a+b}[/TEX]
B=[TEX]\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}\frac{d}{a+d}+\frac{a}{a+b}[/TEX]
C=[TEX]\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{a+d}+\frac{b}{a+b}[/TEX]
có A+B=[TEX]\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{a+d}[/TEX]+[TEX]\frac{a+d}{a+b} \geq 4[/TEX] (theo cauchy) (1)
có B+C=4 (cộng vế với vế) (2)
từ (1) và (2) \Rightarrow 2A+B+C\geq8\Leftrightarrow 2A\geq4\LeftrightarrowA\geq2
\Rightarrow điều phải chứng minh

 

[vlogtranducviet]

bạn ơi,có đề thi toán hôm bữa không,post cho mình cái lời giải cái,@};-o=>>- tính ra mình được có 7 điểm thôi àh\{ABC}

 

[thuyenbnhv]

bạn ơi từ 1 và 2 mình ko hiểu bạn suy ra như thế nào.phải la A+2B+C \geq 8 chứ

 

[popstar1102]

theo mình thì giải như thế này

Áp dụng BĐT $\frac{1}{xy}$\geq $\frac{4}{x+y}$ với x>0, y>0 thì

$\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+d}=\frac{a^2+ad+bc+c^2}{(b+c)(a+d)}$\geq $\frac{4(a^2+ad+bc+c^2)}{(a+b+c+d)^2}$ (1)

tương tự: $\frac{b}{c+d}+\frac{d}{a+b}$\geq $\frac{4(b^2+ad+cd+d^2)}{(a+b+c+d)^2}$ (2)

cộng (1),(2) ta có

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}$\geq $\frac{4(a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ab+cd)}{(a+b+c+d)^2}=4B$

ta có 2B\geq 1 \Leftrightarrow $2(a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ab+cd)$\geq $(a+b+c+d)^2$

\Leftrightarrow $a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd$\geq 0
\Leftrightarrow $(a-c)^2+(b-d)^2$\geq 0 (đúng)

\Rightarrow B\geq $\frac{1}{2}$
\Rightarrow 4B\geq 2
\Rightarrow Đpcm