toán cao cấp

[vivietnam]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giúp đỡ bài này

1,xét tích phân suy rộng

[TEX]I=\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(1+x^3).(1+x^a)}[/TEX]

a là tham số

tìm giá trị a nguyên dương bé nhất để tích phân này hội tụ
với a tìm được tính tích phân này
2,giải hệ phương trình bằng TR,VTR hoặc khử

[tex]\left\{ \begin{array}{l} x_1'(t)=3x_1+2x_2+e^{2t} \\ x_2'(t)=3x_1+8x_2+e^{9t} \end{array} \right.[/tex]

 

[kimxakiem2507]

2,giải hệ phương trình bằng TR,VTR hoặc khử

[tex]\left\{ \begin{array}{l} x_1'(t)=3x_1+2x_2+e^{2t}(1) \\ x_2'(t)=3x_1+8x_2+e^{9t} \end{array} \right.(2)[/tex]

*Phương pháp khử:



Bước [TEX]1[/TEX]:ta sẽ khử mất một biến để phải quyết theo biến độc lập còn lại
lấy [TEX](2)-(1)[/TEX] (để khử mất [TEX]x_1[/TEX])



[TEX]\Rightarrow{x_2^'-x_1^'=6x_2+e^{9t}-e^{2t}\Leftrightarrow{x_2^'=x_1^'+6x_2+e^{9t}-e^{2t}(3)[/TEX]



Bước [TEX]2[/TEX] : làm biến mất [TEX]x_1^'[/TEX] trong [TEX](3)[/TEX] luôn
lấy [TEX](2)[/TEX] đạo hàm [TEX]\Rightarrow{x_2^{''}=3x_1^{'}+8x_2^{'}+9e^{9t}(4)[/TEX]


Lấy [TEX](4)-3.(3)\Rightarrow{x_2^{''}-11x_2^{'}+18x_2=6e^{9t}+3e^{2t}(*)[/TEX]


Bước 3 :giải phương trình trên để tìm ra [TEX]x_2[/TEX]


[TEX]*[/TEX]phương trình đặc trưng :[TEX]k^2-11k+18=0\Leftrightarrow{\left[k=2\\k=9[/TEX][TEX]\Rightarrow{[/TEX] nghiệm của phương trình thuần nhất là :[TEX]x_2{_0}=C_1e^{9t}+C_2e^{2t}[/TEX]


[TEX]*[/TEX]ta sẽ tìm nghiệm riêng của nó (lưu ý [TEX]\alpha=2;9[/TEX] là hai nghiệm đơn của phương trình đặc trưng nên sẽ làm nhanh cài dạng nghiệm riêng này luôn)
[TEX] x_{2r}=Ate^{9t}+Bte^{2t}[/TEX][TEX]\Rightarrow{x_{2r}^{'},x_{2r}^{''}[/TEX] để thế[TEX] (*)[/TEX] tìm ra [TEX]A,B [/TEX](chỉ cần đồng nhất hệ số tự do thôi không cần quan tâm đến hệ số cùa [TEX]x[/TEX] vì nó sẽ tự thõa mãn)


[TEX]\Rightarrow{\left{A=\frac{6}{7}\\B=-\frac{3}{7}[/TEX]


[TEX]\Rightarrow{x_2=x_2{_0}+x_{2r}=(\frac{6}{7}t+C_1)e^{9t}+(-\frac{3}{7}t+C_2)e^{2t}[/TEX]thế vô [TEX](2)\Rightarrow{x_1}=(\frac{2}{7}t-\frac{1}{21}+\frac{C_1}{3})e^{9t}+(\frac{6}{7}t-\frac{1}{7}-2C_2)e^{2t}[/TEX]


[TEX]hpt\Leftrightarrow{\left{x_1=(\frac{2}{7}t-\frac{1}{21}+\frac{C_1}{3})e^{9t}+(\frac{6}{7}t-\frac{1}{7}-2C_2)e^{2t}\\x_2=(\frac{6}{7}t+C_1)e^{9t}+(-\frac{3}{7}t+C_2)e^{2t}[/TEX]


[TEX]*[/TEX] Phương pháp chéo hóa


[TEX]A=(\matrix{3&2\\3&8})[/TEX] [TEX] \ \ \ X=(\matrix{x_1\\x_2})\ \ \ F(t)=(\matrix{e^{2t}\\e^{9t}})[/TEX]


Chéo hóa [TEX]A:\ \ A=PDP^{-1}=(\matrix{-2&1\\1&3})(\matrix{2&0\\0&9})(\matrix{-\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{2}{7}})[/TEX]


Đặt [TEX]Y=P^{-1}X\Rightarrow{Y^{'}=DY+P^{-1}F(t)[/TEX]


[TEX]\Leftrightarrow{(\matrix{y_1^{'}\\y_2^{'}})=( \matrix{2&0\\0&9})(\matrix{y_1\\y_2})+(\matrix{-\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{2}{7}})(\matrix{e^{2t}\\e^{9t}})[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{y_1^{'}-2y_1=-\frac{3}{7}e^{2t}+\frac{1}{7}e^{9t}\\y_2^{'}-9y_2=\frac{1}{7}e^{2t}+\frac{2}{7}e^{9t}[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{y_1=(-\frac{3}{7}t+C_2)e^{2t}+\frac{1}{49}e^{9t}\\y_2=( \frac{2}{7}t+C_1)e^{9t}-\frac{1}{49}e^{2t}[/TEX]


[TEX]X=PY\Leftrightarrow{(\matrix{x_1\\x_2})=(\matrix{-2&1\\1&3})[\matrix{(-\frac{3}{7}t+C_2)e^{2t}+\frac{1}{49}e^{9t}\\(\frac{2}{7}t+C_1)e^{9t}-\frac{1}{49}e^{2t}}][/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{x_1=(\frac{6}{7}t-2C_2-\frac{1}{49})e^{2t}+(\frac{2}{7}t+C_1-\frac{2}{49})e^{9t}\\x_2=(-\frac{3}{7}+C_2-\frac{3}{49})e^{2t}+(\frac{6}{7}t+3C_1+\frac{1}{49})e^{9t}[/TEX]



Hai phương pháp trên đáp số là hoàn toàn giống nhau khi ta thay các hằng số ở phương pháp [TEX]1[/TEX][TEX] \left{C_1=3C_1+\frac{1}{49}\\C_2=C_2-\frac{3}{49} [/TEX] thì sẽ được hệ nghiệm ở phương pháp [TEX]2[/TEX]

1,xét tích phân suy rộng

[TEX]I=\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(1+x^3).(1+x^a)}[/TEX]

a là tham số

tìm giá trị a nguyên dương bé nhất để tích phân này hội tụ
với a tìm được tính tích phân này

Với [TEX]a=1[/TEX] thì tích phân luôn hội tụ

[TEX]I=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+x^3).(1+x)}dx[/TEX]

[TEX]\Rightarrow{3I=\int_{0}^{\infty}\frac{x+2-(x-1)}{(1+x^3).(1+x)}dx=\int_{0}^{\infty}\frac{(x+2)(x^2-x+1)-(x-1)(x+1)^2}{(1+x)^2(x^2-x+1)}dx[/TEX][TEX]=\int_{0}^{\infty}[\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}\frac{2x-1}{x^2-x+1}+\frac{1}{2}\frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}]dx[/TEX]

[TEX]=[-\frac{1}{x+1}+ln\|\frac{x+1}{\sqrt{x^2-x+1}}\|+\frac{1}{\sqrt3}arctg\frac{2x-1}{\sqrt3}]|_0^{\infty}=1+\frac{2\pi}{3\sqrt3}[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{I=\frac{1}{3}+\frac{2\pi}{9\sqrt3}[/TEX]

Để đơn giản khi phân tích em nên để ý cận đối nghịch để đặt[TEX] t=\frac{1}{x}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow{I=\int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{(1+x^3).(1+x)}dx[/TEX]

[TEX]\Rightarrow{3I=\int_{0}^{\infty} \frac{x^2+2}{(1+x^3).(1+x)}dx=\int_{0}^{\infty} \frac{x^2-x+1+x+2}{(1+x^3).(1+x)}dx=\int_{0}^{\infty}[ \frac{1}{.(1+x)^2}+\frac{1}{x^3+1}]dx[/TEX]

 

[vivietnam]

cảm ơn anh
em hiểu ạ
nhưng chỗ tìm a nguyên dương bé nhất thì làm kiểu gì ạ
ý em là phải chứng minh kiểu gì để ra a=1 ạ

[TEX]*[/TEX]Thật ra bài này [TEX]\forall{a[/TEX] nó luôn hội tụ.Để hỏi [TEX]a [/TEX] nguyên dương bé nhất mà nguyên dương bé nhất chính là [TEX]1[/TEX] nên anh lấy [TEX]a=1[/TEX] để nhận xét luôn cho lẹ

[TEX]*[/TEX]Các cách khác :

[TEX]x\Rightarrow{+\infty}\Rightarrow{\left[\frac{1}{(1+x^3)(1+x^{a})}::\frac{1}{x^3}(a\le{0})(HT)\\\frac{1}{(1+x^3)(1+x^{a})}::\frac{1}{x^{3+a}}(a>0)(HT)[/TEX]


[TEX]x\Rightarrow{+\infty}\Rightarrow{\frac{1}{(1+x^3)(1+x^{a})}=\frac{1}{x^{3+a}+x^3+x^{a}+1} \Leftrightarrow{\left[\frac{1}{x^3}(a\le0)\\ \frac{1}{x^{3+a}}(a>0)[/TEX]

[TEX]\int_{b>0}^{+\infty}\frac{1}{x^{a} }dx\Rightarrow{\left[a>1:HT\\a\le1:PK[/TEX]
[TEX]*[/TEX] bài này phải ghi rõ cận trên là +\infty cho rõ ràng

 

[vivietnam]

cho em hỏi thêm
về vấn đề tính tích phân của hàm số độc cực ấy ạ
ví dụ hàm [tex]r=a.cos\varphi [/tex] thì có cách nào khác ngoài việc phải vẽ hàm ấy ra ko ạ
em thấy sách giải chỉ từ hình vẽ mà suy ra cận thôi ạ nên khó hiểu