[Toán bồi dưỡng 9 -> 8] Số học

[lebalinhpa1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Cho $2^k$ -1 là số nguyên tố. C/m rằng k là số nguyên tố
2/ Chứng minh số dư trong phép chia là 1 số nguyên tố cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc là 1 số nguyên tố
3/ Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố có dạng 6k+5

 

[ronaldover7]

2/ Chứng minh số dư trong phép chia là 1 số nguyên tố cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc là 1 số nguyên tố


Vì là 1 số nguyên tố nên số đó chỉ có thể viết dưới dạng 6k+1 hoặc 6k+5
\Rightarrow số dư trong phép chia 1 số nguyên tố cho 30 chỉ có thể viết dưới dạng 6k+1 hoặc 6k+5
\Rightarrow số dư đó thuộc {1,5,7,11,13,17,19,23,25,29}
Mà 25 chia hết cho 5 ,30 chia hết cho \Rightarrow số đó chia hết cho 5
\Rightarrow số dư đó thuộc {1,5,7,11,13,17,19,23,29}-ko có 25
\Rightarrow số dư trong phép chia là 1 số nguyên tố cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc là 1 số nguyên tố

 

[diendantoanhocvn]

đ 6+7

1.
giả sử tồn tại k hợp số dể biểu thức trên nguyên tố.
Đặt k=x.y (x,y>1 thuộc N)
[TEX]2^xy-1=(2^x)^y-1=(2^x-1).A[/TEX]
A>1 và 2^x-1>1 nên biểu thức trên ko phải nguyên tố .
Do đó k nguyên tôá thì thoả

 

[thaolovely1412]

đội 4

Bài 3
Giả sử có hữu hạn tập số nguyên tố mà có dạng [TEX]6k+5 [/TEX]
gọi số nguyên tố lớn nhất trong dãy là [TEX]6k_n+5[/TEX]
Xét số [TEX]A=6(6k_1+5)(6k_2+5)...(6k_n+5)+5[/TEX] ≡ 5(mod 6) (với[TEX] (6k_1+5),(6k_2+5),...,(6k_n+5) [/TEX]khác 5) (*)
Nếu A nguyên tố suy ra mâu thuẫn điều giả sử nên có đpcm
Nếu A hợp số thì A chia hết cho số p (p khác 5 theo (*)) mà A không chia hết cho bất cứ số nào thuộc [TEX](6k_1+5),(6k_2+5),...,(6k_n+5)[/TEX] vì nếu không thì 5 chia hết cho [TEX]6k_h+5[/TEX] vô lý!
\Rightarrow A chia hết cho một số nguyên tố lớn hơn [TEX]6k_n+5 [/TEX]
mà A≡5(mod 6) nên trong các ước của A tồn tại ít nhất một ước chia 6 dư 5
\Rightarrow tồn tại một số nguyên tố > [TEX]6k_n+5[/TEX] và ≡5(mod 6). Mâu thuẫn
Do đó giả thiết phản chứng là sai nên có đpcm

 

[diendantoanhocvn]

đ 6+7

3.
dex CM các số nguyên tố chỉ có dạng 6k-1,6k+1
Lấy số nguyên tố p có dạng 6k-1.
Tính tích của tất cả số nguyên tố đến p
2.3.5.....p-1=6.A-1=M
+Neeus m là số nguyên tố, thoả đề
+Nếu M là hợp sô, nên ước nguyên tố của M phải lớn hơn p
Giả sử nếu ko tồn tại ước nguyên tố dạng 6k-1
M=(6a+1)(6b+1)...=6s+1
VÔ lí.
Bài toán được CM