Toán ...bồi bổ đây,dễ thôi!!!!

[anthuong09]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho x + 2y = 1.tìm GTNN của x^2 + 2y^2
2.Cho 4x - 3y = 7.Tìm GTNN của 2x^2 + 5y^2
3.Cho a + b =1.Tìm GTNN của a^4 + b^4
4.Cho a+ b =1.Tìm GTNN của a^3 + b^3

 

[nguyenbahiep1]

1.Cho x + 2y = 1.tìm GTNN của x^2 + 2y^2

[laTEX] x = 1 - 2y \\ \\ A = (1-2y)^2 + 2y^2 = 6y^2 -4y +1 \\ \\ A = 6(y-\frac{1}{3})^2 +\frac{1}{3} \geq \frac{1}{3} \\ \\ GTNN_A = \frac{1}{3} \Leftrightarrow y = \frac{1}{3} , x = \frac{1}{3} [/laTEX]

 

[thinhso01]

Bài 3:
Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức $\text{AM-GM}$,ta có:
$x^4+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16} \ge \dfrac{x}{2}$
$y^4+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16} \ge \dfrac{y}{2}$
$\Longrightarrow x^4+y^4 \ge \dfrac{1}{8}$
Dấu $'="$ xảy ra khi $x=y=\dfrac{1}{2} \square$
Bài 4:Tương tự
Ngoài ra bài này còn giải quyết theo rất nhiều cách.Mình có còn 3 cách chọn lại là áp dụng bất đẳng thức $\text{Cauchy-Schwarz;Chebyshev;Holder}$

 

[nguyenbahiep1]

Bài 3:

Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức $\text{AM-GM}$,ta có:
$x^4+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16} \ge \dfrac{x}{2}$
$y^4+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16} \ge \dfrac{y}{2}$
$\Longrightarrow x^4+y^4 \ge \dfrac{1}{8}$
Dấu $'="$ xảy ra khi $x=y=\dfrac{1}{2} \square$
Bài 4:Tương tự
Ngoài ra bài này còn giải quyết theo rất nhiều cách.Mình có còn 3 cách chọn lại là áp dụng bất đẳng thức $\text{Cauchy-Schwarz;Chebyshev;Holder}$

áp dùng cài gì thì áp dụng toán lớp 8 có được dùng cosi cho 4 số đâu mà áp

Ngay cả chương trình thi đại học cũng chỉ giới hạn đến cosi cho 3 số mà thôi

 

[1um1nhemtho1]

Cách đơn giản

3.Cho a + b =1.Tìm GTNN của a^4 + b^4

có BĐT $x^2+y^2 \ge \frac{(x+y)^2}{2}$ .
Thật vậy vì BĐT trên tương đương: $(x-y)^2 \ge 0$ (đúng)
Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y$
Áp dụng ta có $a^4 + b^4 \ge \frac{(a^2+b^2)^2}{2} \ge \frac{(a+b)^4}{8}=\frac{1}{8}$
\Rightarrow GTNN của $a^4 + b^4$ là $\frac{1}{2}$
xảy ra \Leftrightarrow $a=b=\frac{1}{2}$

 

[eye_smile]

2.Cho 4x - 3y = 7.Tìm GTNN của 2x^2 + 5y^2

B2:
Ta có: $4x - 3y = 7$
$ \leftrightarrow 3y = 4x - 7$
$ \leftrightarrow y = \dfrac{{4x - 7}}{3}$
$ \to A = 2{x^2} + 5{y^2}$
$ = 2{x^2} + 5.{\left( {\dfrac{{4x - 7}}{3}} \right)^2}$
$ = 2{x^2} + \dfrac{{80}}{9}.{x^2} - \dfrac{{280}}{9}x + \dfrac{{245}}{9}$
$ \to 9A = 18{x^2} + 80{x^2} - 280x + 245$
$ = 2\left( {49{x^2} - 140x + 100} \right) + 45$
$ = 2{\left( {7x - 10} \right)^2} + 45 \ge 45$
$ \to A \ge 5$
Dấu "=" xảy ra $ \leftrightarrow 7x - 10 = 0$
$ \leftrightarrow x = \dfrac{{10}}{7}$
$ \to y = - \dfrac{3}{7}$
Vậy GTNN của bt là 5 tại $x = \dfrac{{10}}{7}$; $y = - \dfrac{3}{7}$

 

[eye_smile]

4.Cho a+ b =1.Tìm GTNN của a^3 + b^3

Ta có:
${a^2} + {b^2} \ge 2ab\forall a,b \in R$
$ \to ab$ lớn nhất khi $2ab$ lớn nhất hay $2ab = {a^2} + {b^2}$
$ \leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} = 0$
$ \leftrightarrow a = b$
mà $a + b = 1$ $ \to a = b = \dfrac{1}{2}$
*Lại có: ${\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + {b^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right) = {a^3} + {b^3} + 3ab = 1$
$ \to {a^3} + {b^3}$ nhỏ nhất khi $3ab$ hay $ab$ lớn nhất
Vậy ${a^3} + {b^3}$ đạt giá trị nhỏ nhất là ${\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^3} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^3} = \dfrac{1}{4}$ tại $a = b = \dfrac{1}{2}$