Toán -BDT

[phuong_july]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

$\fbox{ Bài 1}$
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$.
Chứng minh rằng: $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}$ \geq 3
$\fbox{ Bài 2}$
Tìm giá trị lớn nhất của $M=(2x-x^2)(y-2y^2)$ với 0\leqx\leq 2; 0\leqy\leq$\frac{1}{2}$
$\fbox{ Bài 3}$
Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: $x^2-4xy+5^2=169$
$\fbox{ Bài 4}$
Cho $a+b=2$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=ab(a^2+b^2)$
$\fbox{ Bài 5}$
Cho x,y,z thỏa mãn $2x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+yz-3y-5z+17=0$.
Tính giá trị của biểu thức $S=(x-4)^{2012}+(y-4)^{2013}+(z-4)^{2014}$

 

[su10112000a]

$\fbox{ Bài 1}$
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$.
Chứng minh rằng: $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}$ \geq 3

đặt biểu thức cần c/m là $A$ ta có:
$A=\dfrac{ab}{c} + \dfrac{bc}{a} + \dfrac{ac}{b}$
áp dụng bđt Schwars, ta có:
$A \ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{3abc}$
\Leftrightarrow$A \ge \dfrac{ab^2c+abc^2+a^2bc}{abc}$
\Leftrightarrow$A \ge a+b+c$
do $a^2+b^2+c^2=3$ nên $abc \le 1$(áp dụng Cauchy)
\Rightarrow$a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc} \ge 3$
\Rightarrow$\mathfrak{dpcm}$

 

[anh_em_02]

đặt biểu thức cần c/m là $A$ ta có:
$A=\dfrac{ab}{c} + \dfrac{bc}{a} + \dfrac{ac}{b}$
áp dụng bđt Schwars, ta có:
$A \ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{3abc}$
\Leftrightarrow$A \ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{3abc}$
\Leftrightarrow$A \ge \dfrac{ab^2c+abc^2+a^2bc}{abc}$
\Leftrightarrow$A \ge a+b+c$
\Leftrightarrow$\mathfrak{dpcm}$

Nghĩ sao zã? .

 

[su10112000a]

Nghĩ sao zã? .

làm tắt quá=))
ta có:
$A=\dfrac{ab}{c} + \dfrac{bc}{a} + \dfrac{ca}{b}$
\Leftrightarrow$A=\dfrac{(ab)^2}{abc} + \dfrac{(bc)^2}{abc} + \dfrac{(ca)^2}{abc}$
đến đây áp dụng Schwars, chắc hiểu rồi=))

 

[su10112000a]

$\fbox{ Bài 4}$
Cho $a+b=2$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=ab(a^2+b^2)$

ta có:
$A= ab(a^2+b^2) = ab[(a+b)^2-2ab] = ab(4-2ab) = 4ab-2a^2b^2 = 2-2(t-1)^2 \le 2$
dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$
hết hè này em mới lên lớp 9 nên trình em chỉ giải đc nhiêu đây thôi=))

 

[baochauhn1999]

Bài 2:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$2x-x^2$\leq$x^2+1-x^2=1$
$y-2y^2=y-(2y^2+\frac{1}{8})+\frac{1}{8}$\leq$y-y+\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$
$=>M$\leq$1.\frac{1}{8}$
$"="<=>x=1;y=\frac{1}{4}$

 

[baochauhn1999]

Bài 5:
$2x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+yz-3y-5z+17=0$
$<=>4x^2+2y^2+2z^2-4xy-4xz+2yz-6y-10z+34=0$
$<=>(4x^2+y^2+z^2+2yz-4xy-4xz)+(y^2-6y+9)+(z^2-10z+25)=0$
$<=>(y+z-2x)^2+(y-3)^2+(z-5)^2=0$
$<=>y=3;z=5;x=4$
Khi đó:
$S=(x-4)^{2012}+(y-4)^{2013}+(z-4)^{2014}=0-1+1=0$

 

[su10112000a]

$\fbox{ Bài 3}$
Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: $x^2-4xy+5^2=169$

Đã giải tại đây:http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/108147/tim-nghiem-x-y-nguyen-cua-phuong-trinh

 

[thinhrost1]

$\fbox{ Bài 2}$
Tìm giá trị lớn nhất của $M=(2x-x^2)(y-2y^2)$ với 0\leqx\leq 2; 0\leqy\leq$\frac{1}{2}$

Áp dụng cô-si:

$2M=2(2x-x^2)(y-2y^2)=x(2-x)2y(1-2y) \le \dfrac{(x+2-x)^2}{4}.\dfrac{(2y+1-2y)}{4}=\dfrac{1}{4} \\\Rightarrow M \le\dfrac{1}{8} \\M_{max}=\dfrac{1}{8} \Leftrightarrow x=1,y=\dfrac{1}{4}$

 

[trungkien199]

- Part 2 này:
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=2542340#post2542340. Mọi người chỉnh lại hộ mình cái latex vs

 

[phuong_july]

Áp dụng cô-si:

$2M=2(2x-x^2)(y-2y^2)=x(2-x)2y(1-2y) \le \dfrac{(x+2-x)^2}{4}.\dfrac{(2y+1-2y)}{4}=1\\\Rightarrow M \le\dfrac{1}{2} \\M_{max}=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x=1,y=\dfrac{1}{4}$

Mình nghĩ phần khoanh đỏ của bạn có vấn đề rồi á!
_____________________________________________________

 

[thinhrost1]

Mình nghĩ phần khoanh đỏ của bạn có vấn đề rồi á!
_____________________________________________________

Ok đã sửa