[ toán] bđt khó

[vuquynhthuhatinh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho a, b, c dương. TM: abc=1. CMR:
[TEX]\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq[/TEX] [TEX]\frac{3}{2}[/TEX]

2. Cho x, y,z là các số dương TM: [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}[/TEX]=[TEX]4[/TEX]
CMR:
[TEX]\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+z+x}+\frac{1}{2z+x+y}\leq[/TEX] [TEX]1[/TEX]

các bạn ơi giúp mình với nha, câu 1 hoặc câu 2 đều đc. thanks
:khi (130)::khi (77):

 

[quynhphamdq]

C/m bđt phụ : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$\geq $\frac{4}{x+y}$( bạn tự c/m nha )
Áp dụng bđt phụ ta có :
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$\geq $\frac{4}{x+y}$
$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$\geq $\frac{4}{y+z}$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{z}$\geq $\frac{4}{x+z}$
\Rightarrow $2( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x})$ \geq $4(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z})$
\Rightarrow $2$ \geq $\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}$(1)
Ta lại có :
$\frac{1}{x+y}+ \frac{1}{y+z}$ \geq $\frac{4}{x+2y+z}$
$\frac{1}{x+z}+ \frac{1}{y+z}$ \geq $\frac{4}{x+y+2z}$
$\frac{1}{x+y}+ \frac{1}{x+z}$ \geq $\frac{4}{2x+y+z}$
\Rightarrow $\frac{1}{x+y}+ \frac{1}{y+z} + \frac{1}{x+z}$ \geq $2(\frac{1}{x+2y+z}+ \frac{1}{x+y+2z}+ \frac{1}{2x+y+z})$(2)
Từ (1), (2) ta suy ra :
$2$ \geq $2(\frac{1}{x+2y+z}+ \frac{1}{x+y+2z}+\frac{1}{2x+y+z})$
\Rightarrow $1$ \geq $\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}+ \frac{1}{2x+y+z}$( ĐPCM)
(Dâu = xảy ra khi $x=y=z= \frac{3}{4}$)

 

[eye_smile]

1,

$a^3(b+c)=\dfrac{a^3(b+c)}{a^2b^2c^2}=\dfrac{a(b+c)}{b^2c^2}$

\Rightarrow $\dfrac{1}{a^3(b+c)}=\dfrac{b^2c^2}{ab+ac}$

Tương tự, ta có: $\dfrac{1}{b^3(c+a)}= \dfrac{a^2c^2}{bc+ba}; \dfrac{1}{c^3(a+b)}=\dfrac{a^2b^2}{ca+cb}$

\Rightarrow $VT=\dfrac{b^2c^2}{ab+ac}+ \dfrac{a^2c^2}{bc+ba}+ \dfrac{a^2b^2}{ca+cb} \ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)}= \dfrac{ab+bc+ca}{2} \ge \dfrac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2}=\dfrac{3}{2}$

\Rightarrow đpcm.

 

[vuquynhthuhatinh]

1,

$a^3(b+c)=\dfrac{a^3(b+c)}{a^2b^2c^2}=\dfrac{a(b+c)}{b^2c^2}$

bạn ơi đoạn này sao lại đc như thế, giải thích giúp mình nhé

 

[vuquynhthuhatinh]

1,

$a^3(b+c)=\dfrac{a^3(b+c)}{a^2b^2c^2}=\dfrac{a(b+c)}{b^2c^2}$

\Rightarrow $\dfrac{1}{a^3(b+c)}=\dfrac{b^2c^2}{ab+ac}$

bạn ơi đoạn này sao lại đc như thế, giải thích giúp mình nhé

 

[phuthuysohoc]

Trả lời thắc mắc

1,

$a^3(b+c)=\dfrac{a^3(b+c)}{a^2b^2c^2}=\dfrac{a(b+c)}{b^2c^2}$

\Rightarrow $\dfrac{1}{a^3(b+c)}=\dfrac{b^2c^2}{ab+ac}$

bạn ơi đoạn này sao lại đc như thế, giải thích giúp mình nhé

Ta có $a^3(b+c)=\dfrac{a(b+c)}{b^2c^2}$

\Rightarrow $a^3(b+c).$b^2c^2=ab+ac

\Rightarrow $\dfrac{1}{a^3(b+c)}=\dfrac{b^2c^2}{ab+ac}$

Do nhấn chéo đó bạn>->->->->-

 

[eye_smile]

Do $abc=1$ \Rightarrow $a^2b^2c^2=1$

nên chia cho $a^2b^2c^2$ không thay đổi