Toán BD HSG 9

[thungan6a4]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c, đường cao AH, CMR : $AH$ \leq $\dfrac{1}{2}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)}$
2.Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là giao điểm các đường phân giác, $r$ là khoảng cách từ I đến ba cạnh tam giác, $BC=a$.CMR: $\dfrac{a}{r}$\geq$2(\sqrt{2}+1)$
3.Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. CMR : $cotB+cotC$ \geq $\dfrac{2}{3}$
4.Cho góc vuông $xAy$ , B là điểm di động trên tia Ax, C là điểm di động trên tia Ay(B khác A, C khác A)
a)CMR: $AB+\sqrt{3}AC$ \leq $2BC$
b)Tìm GTLN của $\dfrac{BC}{AB+\sqrt{3}AC}$
5.Cho tam giác ABC cân tại A . D là điểm chuyển động trên BC. Gọi $r1,r2$ lần lượt là bán kính đường tròn nộit tiếp tam giác ABD,ACD.Xác định vị trí của D trên BC để $r1.r2$ lớn nhất

 

[lp_qt]

Câu 1

$$AH= \dfrac{2S}{a}=2.\dfrac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a} \le \sqrt{p(p-a)}.\dfrac{2.\sqrt{(p-b)(p-c)}}{a} \le \sqrt{p(p-a)}.\dfrac{p-b+p-c}{a}=\sqrt{p(p-a)}=\dfrac{1}{2}.\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}$$ (đpcm)

 

[eye_smile]

2,

Ta có: $S=p.r$

$S=\dfrac{1}{2}bc$

\Rightarrow $pr=\dfrac{1}{2}bc$

\Leftrightarrow $r=\dfrac{bc}{a+b+c}$

\Rightarrow $\dfrac{a}{r}=\dfrac{a(a+b+c)}{bc}=\dfrac{a^2+a(b+c)}{bc}=\dfrac{b^2+c^2+(b+c)\sqrt{b^2+c^2}}{bc} \ge \dfrac{2bc+ 2\sqrt{bc}.\sqrt{2bc}}{bc}=2(\sqrt{2}+1)$

\Rightarrow đpcm.

 

[eye_smile]

3, Kẻ đường cao AH, trung tuyến AD.

\Rightarrow $cotB+cotC=\dfrac{BH}{AH}+\dfrac{CH}{AH}=\dfrac{BC}{AH}$

Ta có: $BC=2GD=\dfrac{2}{3}AD$

$AH \le AD$

\Rightarrow đpcm.