[toán]Bất đẳng thuc

[giangmanu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[toán]Bất đẳng thức

Cho tam giác ABC có diện tích S . Đặt BC=a, AC=b, BC=a CMR
[tex]a^2.b^2 + b^2.c^2 + c^2.a^2 \geq 16.S^2 + 0,5.a^2.(b-c)^2 + 0,5.b^2(c-a)^2 +0,5.c^2.(a-b)^2[/tex]

 

[ctsp_a1k40sp]

Cho tam giác ABC có diện tích S . Đặt BC=a, AC=b, BC=a CMR
[tex]a^2.b^2 + b^2.c^2 + c^2.a^2 \geq 16.S^2 + 0,5.a^2.(b-c)^2 + 0,5.b^2(c-a)^2 +0,5.c^2.(a-b)^2[/tex]

khai triển ra bất đẳng thức tương đương
[TEX]\sum a^2b^2 \geq 16S^2+\frac{1}{2}\sum (\sum a^2b^2+a^2c^2-2bca^2)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow bca^2+acb^2+abc^2 \geq (a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(b+c-a)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a+b+c)abc \geq (a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(b+c-a)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow abc \geq (a+b-c)(c+a-b)(b+c-a)[/TEX]

bất đẳng thức này có lẽ là khá quen thuộc vì nó có rất nhiều cách chứng minh .......
Tạm nêu 1 cách ra đây
[TEX](a+b-c)(c+a-b) \leq \frac{1}{4}[(a+b-c)+(c+a-b)]^2 =a^2[/TEX]
tương tự nên
[TEX][(a+b-c)(c+a-b)(b+c-a)]^2 \leq a^2b^2c^2[/TEX]
khai căn ta được dpcm

 

[nguyenminh44]

Bất đẳng thức nữa

Cho x,y,z không âm thỏa x+y+z=1. Tìm giá trị min, max của biểu thức

P=xy+yz+zx-2xyz

Đơn giản cho hợp với thi đại học

 

[ctsp_a1k40sp]

Cho x,y,z không âm thỏa x+y+z=1. Tìm giá trị min, max của biểu thức

P=xy+yz+zx-2xyz

Đơn giản cho hợp với thi đại học

*) Dễ thấy
[TEX]xy \geq xyz[/TEX]
[TEX]yz \geq xyz[/TEX]
[TEX]zx \geq 0[/TEX]
nên [TEX]xy+yz+zx-2xyz \geq 0[/TEX]
ta chỉ cần chỉ ra 1 trường hợp có dấu = là [TEX]x=y=0,z=1[/TEX]
Vậy min [TEX]P=0[/TEX]
*)Dự đoán max [TEX]P=\frac{7}{27}[/TEX] khi [TEX]x=y=z=\frac{1}{3}[/TEX]
Ta xét [TEX]f(x,y,z)=P-\frac{7}{27}[/TEX]
[TEX]f(x,y,z)=x(y+z)+yz-2xyz-\frac{7}{27}[/TEX]
cố định x
[TEX]f(yz)=x(1-x)+yz-2xyz-\frac{7}{27}[/TEX]
ta có [TEX]0 \leq yz \leq \frac{(1-x)^2}{4}[/TEX]
chú ý [TEX]f(yz)[/TEX] là hàm số bậc một nên đồ thị nó là đường thẳng
dễ phân tích được
[TEX]f(0)=-(x-\frac{1}{2})^2 \leq 0[/TEX]
[TEX]f(\frac{(1-x)^2}{4})=-\frac{1}{2}(x-\frac{1}{3})^2(x+\frac{1}{6}) \leq 0[/TEX]
ta nhận thấy hai đầu mút của [TEX]f(yz)[/TEX] đều [TEX]\leq 0[/TEX]
mà [TEX]f(yz)[/TEX] là hàm bậc một
nên [TEX]f(yz) \leq 0[/TEX] với mọi yz thỏa mãn [TEX]0 \leq yz \leq \frac{(1-x)^2}{4}[/TEX]
suy ra [TEX]P \leq \frac{7}{27} [/TEX]

 

[ctsp_a1k40sp]

Cho x,y,z không âm thỏa x+y+z=1. Tìm giá trị min, max của biểu thức

P=xy+yz+zx-2xyz

Đơn giản cho hợp với thi đại học

online ở thư viện trường
chợt nghĩ ra cách khác cho bài này
min của P thì làm như trên
max của P :
ta sẽ chứng minh [TEX]P \leq \frac{7}{27}[/TEX]
hay ta sẽ chứng minh bất đẳng thức
[TEX]xy+yz+zx -2xyz \leq \frac{7}{27} [/TEX][TEX]\Leftrightarrow (xy+yz+zx)(x+y+z)-2xyz \leq \frac{7}{27}(x+y+z)^3[/TEX]nhân ra
[TEX]\Leftrightarrow (x+y-z)(z+x-y)(y+z-x) \leq xyz[/TEX]bất đẳng thức này đã chứng minh ở bài post đầu tiên

 

[nguyenminh44]

online ở thư viện trường
chợt nghĩ ra cách khác cho bài này
min của P thì làm như trên
max của P :
ta sẽ chứng minh [TEX]P \leq \frac{7}{27}[/TEX]
hay ta sẽ chứng minh bất đẳng thức
[TEX]xy+yz+zx -2xyz \leq \frac{7}{27} [/TEX][TEX]\Leftrightarrow (xy+yz+zx)(x+y+z)-2xyz \leq \frac{7}{27}(x+y+z)^3[/TEX]nhân ra
[TEX]\Leftrightarrow (x+y-z)(z+x-y)(y+z-x) \leq xyz[/TEX]bất đẳng thức này đã chứng minh ở bài post đầu tiên

Cách này xem sao

[TEX]P=xy(1-z) + yz(1-x)+xz\geq 0[/TEX] (cũng thế cả đúng không? )

[TEX]P=\frac{1}{4}(1-2x)(1-2y)(1-2z)+\frac{1}{4}[/TEX] (nhân ra kiểm chứng nhé! )

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số 1-2x; 1-2y; 1-2z thu ngay được giá trị lớn nhất

Còn một cái quan trọng là điều kiện của bất đẳng thức. Ta chứng minh cho 3 số đó đều không âm

Tổng của chúng bằng 1 nên chắc chắn tồn tại 1 số dương (giả sử là 1-2x)

Trường hợp 2 số còn lại 1 âm 1 dương bỏ qua vì như vậy không đạt được giá trj lớn nhất

Trường hợp cả 2 số còn lại đều âm :
1-2y < 0; 1-2z <0 => 2-2y-2z=2x <0 trái giả thiết.

Kết thúc!

 

[thandong_0408]

thách thức

chứng minh bất đẳng thức:
a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b)\geq (a^2+b^2)/(a+b)^2 +(b^2+c^2)/(b+c)^2+
+ (c^2+a^2)/(a+c)^2

 

[ctsp_a1k40sp]

chứng minh bất đẳng thức:
a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b)\geq (a^2+b^2)/(a+b)^2 +(b^2+c^2)/(b+c)^2+
+ (c^2+a^2)/(a+c)^2

cho [TEX] b=c >0[/TEX] và [TEX] a-> 0[/TEX]
thì vế trái [TEX] ->2[/TEX]
vế phải [TEX] ->\frac{5}{2}[/TEX]
vô lý
vậy bất đẳng thức sai.