Toán bất đẳng thức, cực trị

[nhokngok2]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho x,y,z là các số dương và x + y+ z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của [TEX]S = \frac{1}{x} + \frac{4}{y} + \frac{9}{z}[/TEX].

Bài 2: Cho 3 số dương thỏa mãn a + b + c =1. Chứng minh: [TEX]\frac{3}{ab+bc+ac} + \frac{2}{a^2+b^2+c^2} > 14[/TEX].

Bài 3: Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn [TEX]a \geq 1, b\geq4 , c\geq9[/TEX].
Tìm giá trị lớn nhất của [TEX]P = \frac{bc\sqrt{a-1} +ca\sqrt{b-4} + ab\sqrt{c-9}}{abc}[/TEX].

Bài 4: Cho a +b+c =2 và [TEX]a^2 +b^2 + c^2 =2[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]0\leq a \leq\frac{4}{3}[/TEX],[TEX]0\leq b \leq\frac{4}{3}[/TEX],[TEX]0\leq c \leq\frac{4}{3}[/TEX].

Bài 5: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh: [TEX]\frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2} \geq \frac{3}{2}[/TEX].

Bài 6: Cho x,y > 0 và [TEX]x+y\leq1[/TEX]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [TEX]A = \frac{1}{x^2+y^2} + \frac{1}{xy}[/TEX].

Bài 7: Tìm các số x, y,z biết [TEX]\sqrt{x-2} + \sqrt{y+2015} + \sqrt{z-2016} = \frac{1}{2}(x+y+z)[/TEX].

Bài 8: Cho a,b là 2 số thực không âm thỏa mãn [TEX]a+b\leq2[/TEX]. Chứng minh: [TEX]\frac{2+a}{1+a} + \frac{1-2b}{1+2b} \geq \frac{8}{7}[/TEX].

Bài 9: Cho a,b là 2 số dương thỏa mãn ab =1 . Chứng minh: [TEX](a+b+1)(a^2+b^2) + \frac{4}{a+b} \geq 8[/TEX].

 

[lp_qt]

Bài 1: Cho x,y,z là các số dương và x + y+ z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $S = \dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{y} + \dfrac{9}{z}$.

$ S = \dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{y} + \dfrac{9}{z} \ge \dfrac{(1+2+3)^2}{x+y+z}=...$

Bài 3: Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn $a \ge 1, b\ge 4 , c \ge 9$

Tìm giá trị lớn nhất của $P = \dfrac{bc\sqrt{a-1} +ca\sqrt{b-4} + ab\sqrt{c-9}}{abc}$

$P=\dfrac { bc\sqrt {a-1} +ca\sqrt {b-4} +ab \sqrt {c-9}}{abc}=\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}+\dfrac{\sqrt{b-4}}{b}+\dfrac{\sqrt{c-9}}{c}$


$\sqrt{a-1}=\sqrt{(a-1).1} \le \dfrac{a-1+1}{2}=\dfrac{a}{2}$

$\sqrt{b-4}=\dfrac{\sqrt{(b-4).4}}{2} \le \dfrac{b-4+4}{4}=\dfrac{b}{4}$

$\sqrt{c-9}=\dfrac{\sqrt{(c-9).9}}{3} \le \dfrac{b-9+9}{6}=\dfrac{c}{6}$

$\rightarrow P \le \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}$

khi $a=2;b=8;c=18$

Bài 5: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3.

Chứng minh: $\dfrac{a}{1+b^2} + \dfrac{b}{1+c^2} + \dfrac{c}{1+a^2} \ge \dfrac{3}{2}$

Nguồn:VMF

$\dfrac{a}{1+b^{2}}+\dfrac{b}{1+c^{2}}+\dfrac{c}{1+a^{2}}\ge \dfrac{3}{2} \Longleftrightarrow \dfrac{ab^{2}}{1+b^{2}}+ \dfrac{bc^{2}}{1+c^{2}}+ \dfrac{ca^{2}}{1+a^{2}} \le \dfrac{3}{2} \Longleftrightarrow \dfrac{ab}{2}+\dfrac{bc}{2}+\dfrac{ca}{2}\le \dfrac{3}{2}$


Do $(a+b+c)^{2}\ge 3(ab+ba+ca) \rightarrow ab+bc+ca \le 3 \rightarrow$ đpcm

 

[lp_qt]

Bài 4: Cho $a +b+c =2$ và $a^2 +b^2 + c^2 =2$

Chứng minh rằng: $0 \le a;b;c \le \dfrac{4}{3}$

$\left\{\begin{matrix}a+b+c=2 & \\ a^2+b^2+c^2=2 & \end{matrix}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}a+b=2-c & \\ a^2+b^2=2-c^2 & \end{matrix}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}a+b=2-c & \\
(a+b)^2-2ab=2-c^2 & \end{matrix}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a+b=2-c & \\ ab=c^2-2c+1 & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow a;b$ là nghiệm của pt $ X^2-(2-c)X+(c^2-2c+1)=0$

pt có nghiệm khi $\Delta =(2-c)^2-4(c^2-2c+1) \ge 0 \Longleftrightarrow 0 \le c \le \dfrac{4}{3}$

tương tự, ta có đpcm.

Bài 6: Cho $x,y > 0 ;x+y\le 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \dfrac{1}{x^2+y^2} + \dfrac{1}{xy}$.

$A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{2xy} \ge \dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}+\dfrac{1}{2xy} \ge \dfrac{4}{(x+y)^2}+\dfrac{1}{2.\dfrac{(x+y)^2}{4}} \ge 6$

Dấu = xảy ra $\Longleftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$

 

[lp_qt]

Bài 7: Tìm các số x, y,z biết $\sqrt{x-2} + \sqrt{y+2015} + \sqrt{z-2016} = \dfrac{1}{2}(x+y+z)$.

$\sqrt{x-2} + \sqrt{y+2015} + \sqrt{z-2016} = \dfrac{1}{2}(x+y+z)$

$\Longleftrightarrow 2\sqrt{x-2} + 2\sqrt{y+2015} + 2\sqrt{z-2016} = x+y+z$

$\Longleftrightarrow (x-2-2\sqrt{x-2}+1)+(y+2015-2\sqrt{y+2015}+1)+(
z-2016-2\sqrt{z-2016}+1)=0$

$\Longleftrightarrow (\sqrt{x-2}-1)^2+(\sqrt{y+2015}-1)^2+(\sqrt{z-2016}-1)^2=0$

$\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{x-2}=1 & \\ & \\\sqrt{y+2015}=1 & \\
& \\\sqrt{z-2016}=1& \\&\end{matrix}\right.$

 

[hien_vuthithanh]

Bài 2: Cho 3 số dương thỏa mãn a + b + c =1. Chứng minh: [TEX]\frac{3}{ab+bc+ac} + \frac{2}{a^2+b^2+c^2} > 14[/TEX].

Có : $a+b+c=1 \rightarrow (a+b+c)^2=1 \leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1$

$\rightarrow a^2+b^2+c^2=1-2(ab+bc+ca)$

Đặt $ab+bc+ca=t (t \ge 0) \rightarrow BT \leftrightarrow \dfrac{3}{t}+\dfrac{2}{1-2t}$

Cần cm $\dfrac{3}{t}+\dfrac{2}{1-2t} >14$

$\leftrightarrow 28t^2-18t+3 >0 $ ( Luôn đúng )

$\rightarrow$ đpcm.

 

[hien_vuthithanh]

Bài 8: Cho a,b là 2 số thực không âm thỏa mãn [TEX]a+b\leq2[/TEX]. Chứng minh: [TEX]\frac{2+a}{1+a} + \frac{1-2b}{1+2b} \geq \frac{8}{7}[/TEX].

Bài 9: Cho a,b là 2 số dương thỏa mãn ab =1 . Chứng minh: [TEX](a+b+1)(a^2+b^2) + \frac{4}{a+b} \geq 8[/TEX]

Bài 8 : Xem tại Đây

Bài 9 : Có : $a+b \ge 2\sqrt{ab}=2 \rightarrow a+b+1 \ge 3$

$\rightarrow BĐT \ge 3(a^2+b^2) +\dfrac{4}{a+b} =(a^2+b^2)+ (a^2+b^2)+\dfrac{4}{a+b} +(a^2+b^2) \ge \dfrac{(a+b)^2}{2}+\dfrac{(a+b)^2}{2}+\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{(a+b)^2}{2}\ge 3\sqrt[3]{(a+b)^3}+\dfrac{(a+b)^2}{2}\ge 8$

 

[phamhuy20011801]

9, Áp dụng bất đẳng thức Cosi:
-$a+b+1 \ge 2\sqrt{ab} +1 = 2+1=3$ (1)
-$a^2+b^2 \ge 2\sqrt{a^2b^2} = 2$ (2)
-$(a+b)^2 \ge 4ab$
$\leftrightarrow \dfrac{4}{(a+b)^2} \ge \dfrac{1}{ab} = 1$
$\leftrightarrow \dfrac{4}{a+b} \ge 2$ (3)
Từ (1); (2); (3), ra đpcm.

 

[soccan]

9, Áp dụng bất đẳng thức Cosi:
-$a+b+1 \ge 2\sqrt{ab} +1 = 2+1=3$ (1)
-$a^2+b^2 \ge 2\sqrt{a^2b^2} = 2$ (2)
-$(a+b)^2 \ge 4ab$
$\leftrightarrow \dfrac{4}{(a+b)^2} \ge \dfrac{1}{ab} = 1$
$\leftrightarrow \dfrac{4}{a+b} \ge 2$ (3)
Từ (1); (2); (3), ra đpcm.

dòng $3$ và $4$ từ dưới lên bị ngược dấu