[ toán] bất đẳng thức - bài khó

[vuquynhthuhatinh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c dương. CMR:

[TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}[/TEX] \geq [TEX]\frac{a+b+c}{2}[/TEX]


CẢM ƠN CÁC BẠN NHIỀU:khi (14)::khi (196)::khi (32):

các bạn làm THEO bđt COSI GIÚP MÌNH NHA

 

[pinkylun]

Giải:

Ta có:

$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b+c}{4}=\dfrac{4a^2+(b+c)^2}{4(b+c)} \ge \dfrac{4a(b+c)}{4(b+c)}=a$ (bđt Cauchy)

Tương tự :

$\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{a+c}{4} \ge b$

$\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+c}{4} \ge c$

Công từng vế bđt:

$=>\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b+c}{4}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{a+c}{4} +\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+c}{4} \ge a+b+c$

$=>\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+c}{4} +\dfrac{b+c}{4}+\dfrac{a+b}{4} \ge a+b+c$

$=>\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b} +\dfrac{1}{2}(a+b+c) \ge a+b+c$

$=>\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b} \ge \dfrac{a+b+c}{2}$

 

[vanmanh2001]

Áp dụng hệ quả Bu - Nhi - a - cốp - xki
$\dfrac{a^2}{x_1} + \dfrac{b^2}{x_2} + \dfrac{x^2}{x_3} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{x_1 + x_2 + x_3}$
Ta có
$A \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{2a+2b+2c} = \dfrac{a+b+c}{2}$

 

[transformers123]

Áp dụng bđt Schwarz, ta có:

$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+b+c+c+a} = \dfrac{a+b+c}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

 

[hien_vuthithanh]

Cách 1 : AD Cauchy :

$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\dfrac{a+b+c}{2}$


Cách 2 : AD Cosi :

$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b+c}{4}\ge 2\sqrt{\dfrac{a^2(b+c)}{4(b+c)}}=a$

TT $ \rightarrow \dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b} \ge a+b+c-\dfrac{b+c}{4}-\dfrac{c+a}{4}-\dfrac{a+b}{4} =\dfrac{a+b+c}{2}$


pinkylun : Cosi thế này ngắn hơn em à =))