Toán Bất Đẳng Thức 12

[vodichhocmai]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX] thỏa mãn [TEX]\(a+b+c\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)= k^2+9[/TEX] Trong đó [TEX]k[/TEX] là số thực cho trước . hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của [TEX]\frac{a}{b}[/TEX]

bài 1 a,b>0 cmr
[TEX]\frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{b^3}+b^3\geq\frac{1}{a}+ \frac{a}{b} +b[/TEX]
bài 2 x,y>0 và [TEX]X^2 +y^3 \geq X^3 +y^4[/TEX]
cmr [TEX]x^3 +Y^3 \leq x^2 +Y^2 \leq x+Y \leq 2 [/TEX]
bài 3 cmr [TEX]\forall[/TEX] x và y thì [TEX]x^2 +5Y^2 -4xy+2x-6y+3>0[/TEX]

[TEX]AM-GM\righ\left{\frac{1}{a^3} \ge \frac{3}{a} -2 \\ \frac{a^3}{b^3} \ge \frac{3a}{b}-2\\b^3 \ge 3b-2[/TEX]

[TEX]\rightarrow LHS \ge \(\frac{1}{a}+ \frac{a}{b} +b\)+2\(\frac{1}{a}+ \frac{a}{b} +b\)-6 \ge \fbox{\frac{1}{a}+ \frac{a}{b} +b}[/TEX]


[TEX]\(x^3+y^3\)^2\le^{Cauch-Schwarz} (x^3+y^4)(x^3+y^2)\le^{\tex{gia thiet}} (x^2+y^3)(x^3+y^2) \le ^{AMGM} \frac{\(x^2+y^2+x^3+y^3\)^2}{4}[/TEX]

[TEX]\rightarrow \fbox{x^3+y^3 \le x^2 +y^2 }[/TEX]

Tiếp tục ta có :

[TEX](x^2+y^2 )^2 \le (x+y)(x^3+y^3)[/TEX]

Theo chứng minh trên thì suy là [TEX]x^2+y^2 \le (x+y)(x^3+y^3) \le ^{CMT} (x+y)(x^2+y^2)[/TEX]

[TEX]\rightarrow \fbox{x^2+y^2 \le x+y }[/TEX]

Tiếp tục ta có :

[TEX]x+y \ge x^2+y^2 \ge \frac{(x+y)^2}{2} [/TEX]

[TEX]\righ \fbox{x+y \le 2}[/TEX]

[TEX]x^2 +5y^2 -4xy+2x-6y+3=(x-2y+1)^2+(y+1)^2+1 \ge 1[/TEX]

[TEX] \righ \fbox{x^2 +5y^2 -4xy+2x-6y+3>0}[/TEX]

 

[kimxakiem2507]

Cho các số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX] thỏa mãn [TEX]\(a+b+c\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)= k^2+9(*)[/TEX] Trong đó [TEX]k[/TEX] là số thực cho trước . hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của [TEX]\frac{a}{b}[/TEX]

[TEX]*\ Cauchy-Schwart\ :[/TEX]

[TEX]k^2+9=\(a+b+c\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) \ge \[\sqrt{\(a+b\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)}+1\]^2[/TEX][TEX]\ \ \Leftrightarrow{\sqrt{\frac{a}{b}}+ \sqrt{\frac{b}{a}}+1\le \sqrt{k^2+9}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow{ \frac{\sqrt{k^2+9}-1- \sqrt{k^2+6-2\sqrt{k^2+9}}}{2} \le \sqrt{\frac{a}{b}}\le \frac{\sqrt{k^2+9}-1+ \sqrt{k^2+6-2\sqrt{k^2+9}}}{2} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow{ \(\frac{\sqrt{k^2+9}-1- \sqrt{k^2+6-2\sqrt{k^2+9}}}{2}\)^2 \le \frac{a}{b}\le \(\frac{\sqrt{k^2+9}-1+ \sqrt{k^2+6-2\sqrt{k^2+9}}}{2}\)^2 [/TEX]

[TEX]Dang\ thuc\ xay\ ra\ ben\ trai\ :[/TEX]

[TEX] \left{ c=\sqrt{ab}\\ a=\(\frac{\sqrt{k^2+9}-1- \sqrt{k^2+6-2\sqrt{k^2+9}}}{2}\)^2b[/TEX]

[TEX]Dang\ thuc\ xay\ ra\ ben\ phai\ :[/TEX]
[TEX] \left{ c=\sqrt{ab}\\ a=\(\frac{\sqrt{k^2+9}-1+ \sqrt{k^2+6-2\sqrt{k^2+9}}}{2}\)^2b[/TEX]

[TEX]* \ Cach\ khac\ [/TEX]

[TEX]\forall{a,b,c>0\ \ :\ \ k^2+9=\(a+b+c\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)\ge{9:ok[/TEX][TEX]\ \ \ \Rightarrow{luon\ ton\ tai\ \frac{a}{b}=x>0,\frac{a}{c}=y>0 \ thoa\ man\ (*)[/TEX]

[TEX](*)\Rightarrow{(1+x+y)(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=k^2+9[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{(1+\frac{1}{x})y^2+(x+\frac{1}{x}-k^2-6)y+x+\frac{1}{x}=0(1)[/TEX]

[TEX](1)\ luon\ co\ nghiem\ y>0\ nen\ \left{(x+\frac{1}{x}-k^2-6)^2-4(1+\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x})\ge0\\k^2+6-(x+\frac{1}{x})>0[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{x+\frac{1}{x}\le{k^2+8-2\sqrt{k^2+9}=m \Rightarrow{\frac{m-\sqrt{m^2-4}}{2}\le{x\le{\frac{m+\sqrt{m^2-4}}{2}[/TEX]

[TEX]YCBT\Leftrightarrow{\frac{m-\sqrt{m^2-4}}{2}\le{\frac{a}{b}\le{\frac{m+\sqrt{m^2-4}}{2}\ \ \ (m=k^2+8-2\sqrt{k^2+9})[/TEX]