[Toán]ai jup nhé

[khanhnam_bb]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

tìm min max [TEX]y=sin^{2009} x. cos^{2010}x[/TEX] với [TEX]0 \leq x\leq \frac{\pi}2[/TEX]

 

[giangln.thanglong11a6]

Ta có [TEX]x \in [0;\frac{\p}2][/TEX] nên sinx \geq 0 và cosx \geq 0

[TEX]\Rightarrow y \geq 0[/TEX]. Đẳng thức xảy ra [TEX]\Leftrightarrow sinx.cosx=0 \Leftrightarrow \left[x=0\\x=\frac{\pi}2[/TEX]. Vậy miny=0

Ta lại có [TEX]y^2=(sin^2x)^{2009} . (cos^2x)^{2010}[/TEX]

[TEX]=\frac1{2010^{2009}.2009^{2010}} (2010sin^2x).(2010sin^2x)...(2010sin^2x).(2009cos^2x).(2009cos^2x)...(2009cos^2x)[/TEX]
trong đó có 2009 số hạng [TEX]2010sin^2x[/TEX] và 2010 số hạng [TEX]2009cos^2x[/TEX]

Áp dụng BDT Cauchy cho 4019 số hạng trên ta có

[TEX]y^2 \leq \frac1{2010^{2009}.2009^{2010}} (\frac{2009.2010sin^2x+2010.2009cos^2x}{4019})^{4019}[/TEX]

[TEX]=\frac1{2010^{2009}.2009^{2010}}.(\frac{2009.2010}{4019})^{4019}[/TEX]

Đẳng thức xảy ra khi [TEX]2010sin^2x=2009cos^2x \Leftrightarrow tanx =\sqrt{\frac{2009}{2010}}[/TEX]

Vậy ta tìm được maxy như trên.

 

[khanhnam_bb]

min thì sao he.............................................................................................................................................................................................................