1. Giải phương trình:
$(x^2-a)^2-6x^2+4x+2a=0$
với a là tham số
2. $\Delta ABC$ cân tại $A$. $AB=\frac{2}{3}BC$. Đường cao $AE$. Đường tròn $(O)$ nội tiếp $\Delta ABC$ tiếp xúc $AC$ tại $F$.
Chứng minh : $BF$ là tiếp tuyến của đường tròn $(ECF)$
2. Tứ giác OECF có góc OFC+ góc OEC= 180 độ => là tứ giác nội tiếp => O thuộc đường tròn (ECF)
Để chứng tỏ BF là tiếp tuyến của đường tròn (ECF) => Ta sẽ đi c/m [tex]BF^{2}=BE.BC[/tex] (1)
Đặt AB=a
Có [tex]BE=\frac{1}{2}BC;BA=\frac{2}{3}BC\Rightarrow BE=\frac{3}{4}BA=\frac{3}{4}a\Rightarrow BE.BC=\frac{9}{8}a^{2}[/tex](*)
Từ F kẻ FH _l_ với BC tại H
Dễ dàng c/m được: [tex]CF=CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.\frac{3}{2}a=\frac{3}{4}a[/tex] ( theo tính chất của 2 tiếp tuyến ctắ nhau)
Xét tam giác CAE có FH//AE, theo đ/l Thales có: [tex]\frac{CH}{CE}=\frac{CF}{CA}\Leftrightarrow \frac{CH}{\frac{3}{4}a}=\frac{\frac{3}{4}a}{a}\Rightarrow CH=\frac{9}{16}a[/tex]
[tex]\Rightarrow BH=BC-CH=\frac{3}{2}a-\frac{9}{16}a=\frac{15}{16}a[/tex]
Dễ dàng tính được: [tex]AE=\frac{\sqrt{7}}{4}a[/tex] ( dựa vào đ/l Pythagores trong tam giác vuông CEA)
Xét tam giác CAE có FH//AE, theo hệ quả đ/l Thales có: [tex]\frac{CF}{CA}=\frac{FH}{AE}\Leftrightarrow \frac{\frac{3}{4}a}{a}=\frac{FH}{\frac{\sqrt{7}}{4}}\Rightarrow FH=\frac{3\sqrt{7}}{16}a[/tex]
Có [tex]BF^{2}=BH^{2}+FH^{2}=(\frac{15}{16}a)^{2}+(\frac{3\sqrt{7}}{16}a)^{2}=\frac{9}{8}a^{2}[/tex] (**)
Từ (*) và (**) suy ra (1)
Suy ra: Tam giác BFE ~ Tam giác BCF (c-g-c)
=> góc BFE= góc BCF
Gọi FB' là tiếp tuyến tại F của (ECF)
=> góc B'FE= góc BCF ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.....)
Suy ra góc BFE= góc B'FE
=> B trùng B'
=> FB là tiếp tuyến của (ECF) (đpcm)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
