Dựng $\triangle ABC$ vuông tại $A,\widehat C=\alpha <45^{\circ}$ có đường cao $AH$, trung tuyến $AM\Rightarrow MA=MB=MC=a$
Khi đó ta có $\triangle AMC$ cân tại $M\Rightarrow \widehat{MAC}=\alpha \Rightarrow \widehat{AMH}=2\alpha$
$\triangle AHC$ vuông tại $H\Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{HC}{AC}\Rightarrow 2\cos^2 \alpha=\dfrac{2HC^2}{AC^2}=\dfrac{2HC^2}{HC.BC}=\dfrac{2HC}{2a}=\dfrac{HC}a \ (1)$
$\triangle AHM$ vuông tại $H\Rightarrow \cos 2\alpha =\dfrac{HM}{AM}\Rightarrow 1+\cos 2\alpha =1+\dfrac{HM}{AM}=\dfrac{AM+HM}{AM}=\dfrac{a+AM}a=\dfrac{HC}a \ (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra đpcm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
