Toán Toán 9

[LY LÙN 999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh
a+b+c[tex]\geq[/tex][tex]\sqrt{ab}[/tex]+[tex]\sqrt{ac}[/tex]+[tex]\sqrt{bc}[/tex]

 

[Blue Plus]

Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh
a+b+c[tex]\geq[/tex][tex]\sqrt{ab}[/tex]+[tex]\sqrt{ac}[/tex]+[tex]\sqrt{bc}[/tex]

Áp dụng BĐT Cauchy:
[tex]\dpi{100} \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\\\frac{b+c}{2}\geq \sqrt{bc}\\\frac{c+a}{2}\geq \sqrt{ca}\\\Rightarrow \frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\\\Leftrightarrow \frac{2a+2b+2c}{2}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\\\Leftrightarrow \frac{2(a+b+c)}{2}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\\\Leftrightarrow a+b+c\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\\\Rightarrow DPCM[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

 

[LY LÙN 999]

Áp dụng BĐT Cauchy:
[tex]\dpi{100} \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\\\frac{b+c}{2}\geq \sqrt{bc}\\\frac{c+a}{2}\geq \sqrt{ca}\\\Rightarrow \frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\\\Leftrightarrow \frac{2a+2b+2c}{2}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\\\Leftrightarrow \frac{2(a+b+c)}{2}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\\\Leftrightarrow a+b+c\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\\\Rightarrow DPCM[/tex]

Chứng minh rằng với a>0,b>0 thì [tex]\sqrt{a+b}[/tex]< [tex]\sqrt{a}[/tex]+[tex]\sqrt{b}[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh
a+b+c

+

+

(1)

bđt $\Leftrightarrow 2(a+b+c)\geq 2(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc})$
$\Leftrightarrow (a-2\sqrt{ab}+b)+(b-2\sqrt{bc}+c)+(c-2\sqrt{ca}+a)\geq 0$
$\Leftrightarrow (\sqrt a-\sqrt b)^2+(\sqrt b-\sqrt c)^2+(\sqrt c-\sqrt a)^2\geq 0$ (luôn đúng)
$\Rightarrow \cdots$

Chứng minh rằng với a>0,b>0 thì

<

+

bđt $\Leftrightarrow a+b<a+b+2\sqrt{ab}\Leftrightarrow \sqrt{ab}>0$ (luôn đúng)
$\Rightarrow \cdots$

 

[Blue Plus]

Chứng minh rằng với a>0,b>0 thì [tex]\sqrt{a+b}[/tex]< [tex]\sqrt{a}[/tex]+[tex]\sqrt{b}[/tex]

[tex]\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}\\\Leftrightarrow a+b<a+b+2\sqrt{ab}\\\Leftrightarrow 0<2\sqrt{ab}\\\Leftrightarrow \sqrt{ab}>0[/tex]
Vì a>0, b>0 nên [tex]\dpi{100} \sqrt{ab}>0[/tex] luôn đúng
=> ĐPCM

 

[LY LÙN 999]

bđt $\Leftrightarrow 2(a+b+c)\geq 2(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc})$
$\Leftrightarrow (a-2\sqrt{ab}+b)+(b-2\sqrt{bc}+c)+(c-2\sqrt{ca}+a)\geq 0$
$\Leftrightarrow (\sqrt a-\sqrt b)^2+(\sqrt b-\sqrt c)^2+(\sqrt c-\sqrt a)^2\geq 0$ (luôn đúng)
$\Rightarrow \cdots$

bđt $\Leftrightarrow a+b<a+b+2\sqrt{ab}\Leftrightarrow \sqrt{ab}>0$ (luôn đúng)
$\Rightarrow \cdots$

SO sánh [tex]\sqrt{2012+2013}[/tex] và [tex]\sqrt{2012}[/tex]+[tex]\sqrt{2013}[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

SO sánh [tex]\sqrt{2012+2013}[/tex] và [tex]\sqrt{2012}[/tex]+[tex]\sqrt{2013}[/tex]

Áp dụng BĐT $\sqrt{a+b}<\sqrt a+\sqrt b$ với $a,b>0$ ta có $\sqrt{2012+2013}<\sqrt{2012}+\sqrt{2013}$

 

[Blue Plus]

SO sánh [tex]\sqrt{2012+2013}[/tex] và [tex]\sqrt{2012}[/tex]+[tex]\sqrt{2013}[/tex]

Áp dụng BĐT vừa chứng minh ta có:
[tex]\dpi{100} \sqrt{2012+2013}<\sqrt{2012}+\sqrt{2013}[/tex]

 

[LY LÙN 999]

Áp dụng BĐT $\sqrt{a+b}<\sqrt a+\sqrt b$ với $a,b>0$ ta có $\sqrt{2012+2013}<\sqrt{2012}+\sqrt{2013}$

Cho A,B[tex]\epsilon[/tex] Z. Chứng minh rằng số 99999+11111[tex]\sqrt{3}[/tex] không thể biểu diễn dưới dạng (A+B[tex]\sqrt{3}[/tex])[tex]^{2}[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Cho A,B[tex]\epsilon[/tex] Z. Chứng minh rằng số 99999+11111[tex]\sqrt{3}[/tex] không thể biểu diễn dưới dạng (A+B[tex]\sqrt{3}[/tex])[tex]^{2}[/tex]

Ta có: $(A+B\sqrt{3})^2=A^2+3B^2+2AB\sqrt{3}$
$99999+11111\sqrt 3=(A+B\sqrt 3)^2\Leftrightarrow A^2+3B^2=99999$ và $2AB=11111$ (vô lí vì $A,B\in \mathbb{Z}$)
$\Rightarrow \cdots$

 

[Blue Plus]

Cho A,B[tex]\epsilon[/tex] Z. Chứng minh rằng số 99999+11111[tex]\sqrt{3}[/tex] không thể biểu diễn dưới dạng (A+B[tex]\sqrt{3}[/tex])[tex]^{2}[/tex]

[tex]\dpi{100} (A+B\sqrt{3})^2=A^2+3B^2+2AB\sqrt{3}[/tex]
[tex]\dpi{100} \Rightarrow A^2+3B^2=99999;2AB\sqrt{3}=11111\sqrt{3}[/tex]
[tex]\dpi{100} 2AB\sqrt{3}=11111\sqrt{3}\\2AB=11111\\AB=\frac{11111}{2}(loai-vi-A,B\in Z)[/tex]
=> ĐPCM

 

[LY LÙN 999]

[tex]\dpi{100} (A+B\sqrt{3})^2=A^2+3B^2+2AB\sqrt{3}[/tex]
[tex]\dpi{100} \Rightarrow A^2+3B^2=99999;2AB\sqrt{3}=11111\sqrt{3}[/tex]
[tex]\dpi{100} 2AB\sqrt{3}=11111\sqrt{3}\\2AB=11111\\AB=\frac{11111}{2}(loai-vi-A,B\in Z)[/tex]
=> ĐPCM

Rút gọn biểu thức B=[tex]\frac{1}{2m-1}[/tex].[tex]\sqrt{25m^{4}-100m^{5}+100m^{6}}[/tex]
với m [tex]\neq[/tex] [tex]\frac{1}{2}[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức A=3y-[tex]\sqrt{27}[/tex]+[tex]\frac{\sqrt{y^{3}+3y^{2}}}{\sqrt{y+3}}[/tex]
(y[tex]\geq[/tex]0) tại y=[tex]\sqrt{3}[/tex]

$A=3y-3\sqrt{3}+\sqrt{\dfrac{y^2(y+3)}{y+3}}=3y-3\sqrt{3}+\sqrt{y^2}=3y-3\sqrt{3}+y=4y-3\sqrt{3}=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}$

 

[Blue Plus]

Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức A=3y-[tex]\sqrt{27}[/tex]+[tex]\frac{\sqrt{y^{3}+3y^{2}}}{\sqrt{y+3}}[/tex]
(y[tex]\geq[/tex]0) tại y=[tex]\sqrt{3}[/tex]

ĐKXĐ:
[tex]\dpi{100} y\geq -3[/tex]
[tex]\dpi{100} A=3y-\sqrt{27}+\frac{\sqrt{y^3+3y^2}}{\sqrt{y+3}}\\=3(y-\sqrt{3})+\frac{\sqrt{y^2(\sqrt{y+3})}}{\sqrt{y+3}}\\=3(y-\sqrt{3})+\frac{\sqrt{y^2}.\sqrt{y+3}}{\sqrt{y+3}}\\=3(y-\sqrt{3})+y\\y=\sqrt{3}\Rightarrow A=3(\sqrt{3}-\sqrt{3})+\sqrt{3}=0+\sqrt{3}=\sqrt{3}[/tex]

 

[LY LÙN 999]

$A=3y-3\sqrt{3}+\sqrt{\dfrac{y^2(y+3)}{y+3}}=3y-3\sqrt{3}+\sqrt{y^2}=3y-3\sqrt{3}+y=4y-3\sqrt{3}=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}$

Cho biểu thức M=[tex]\frac{\sqrt{4a+4+\frac{1}{a}}}{\sqrt{a}.|2a^{2}-a-1|}[/tex]
Tính giá trị của M với a=([tex]\sqrt{10}-\sqrt{6}[/tex]).[tex]\sqrt{4+\sqrt{15}}[/tex]

 

[LY LÙN 999]

ĐKXĐ:
[tex]\dpi{100} y\geq -3[/tex]
[tex]\dpi{100} A=3y-\sqrt{27}+\frac{\sqrt{y^3+3y^2}}{\sqrt{y+3}}\\=3(y-\sqrt{3})+\frac{\sqrt{y^2(\sqrt{y+3})}}{\sqrt{y+3}}\\=3(y-\sqrt{3})+\frac{\sqrt{y^2}.\sqrt{y+3}}{\sqrt{y+3}}\\=3(y-\sqrt{3})+y\\y=\sqrt{3}\Rightarrow A=3(\sqrt{3}-\sqrt{3})+\sqrt{3}=0+\sqrt{3}=\sqrt{3}[/tex]

Rút gọn biểu thức B=

.

với m

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Cho biểu thức M=[tex]\frac{\sqrt{4a+4+\frac{1}{a}}}{\sqrt{a}.|2a^{2}-a-1|}[/tex]
Tính giá trị của M với a=([tex]\sqrt{10}-\sqrt{6}[/tex]).[tex]\sqrt{4+\sqrt{15}}[/tex]

$M=\dfrac{\sqrt{\dfrac{4a^2+4a+1}{a}}}{\sqrt{a}|(2a+1)(a-1)|}=\dfrac{\sqrt{(2a+1)^2}}{a|2x+1|.|a-1|}=\dfrac{|2a+1|}{a|2a+1|.|a-1|}=\dfrac{1}{a|a-1|}
\\a=(\sqrt{5}-\sqrt{3})\sqrt{8+2\sqrt{15}}=(\sqrt{5}-\sqrt{3})\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}=(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})=5-3=2
\\\Rightarrow M=\dfrac1{2|2-1|}=\dfrac12$

Rút gọn biểu thức B=

.

với m

$B=\dfrac{\sqrt{25m^4(4m^2-4m+1)}}{2m-1}=\dfrac{\sqrt{25m^4(2m-1)^2}}{2m-1}=\dfrac{5m^2|2m-1|}{2m-1}=\left\{\begin{matrix}5m^2 \ \text{nếu} \ m>\dfrac12\\ -5m^2 \ \text{nếu} \ m<\dfrac12\end{matrix}\right.$

 

[Blue Plus]

Rút gọn biểu thức B=

.

với m

[tex]\dpi{100} B=\frac{1}{2m-1}.\sqrt{25m^4-100m^5+100m^6}\\=\frac{1}{2m-1}.\sqrt{25m^4.(1-4m+4m^2)}\\=\frac{1}{2m-1}.\sqrt{25m^4}.\sqrt{(1-2m)^2}\\=\frac{1}{2m-1}.5m^2.|1-2m|\\IF1-2m> 0\Rightarrow -2m>-1\Rightarrow m<\frac{1}{2} \\B=\frac{1}{2m-1}.5m^2.(1-2m)\\=(-1).5m^2\\=-5m^2\\IF1-2m<0\Rightarrow -2m<-1\Rightarrow m>\frac{1}{2}\\B=\frac{1}{2m-1}.5m^2.(2m-1)\\=5m^2[/tex]