Toán Toán 9

[lucky1201]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh bất đẳng thức cô si với 3 số a, b, c không âm:
[tex]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}[/tex]
(dựa vào bất đẳng thức [tex]x^3+y^3+z^3\geq 3xyz[/tex] biết x, y, z [tex]\geq 0[/tex] )

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

$x^3+y^3+z^3\geq 3xyz
\\\Leftrightarrow (x+y)^3+z^3-3xy(x+y)-3xyz\geq 0
\\\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2)-3xy(x+y+z)\geq 0
\\\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\geq 0
\\\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(x+y+z)(x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2)\geq 0$
$\Leftrightarrow \dfrac12(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]\geq 0$ (luôn đúng vs mọi $x,y,z\geq 0$)
Áp dụng BĐT trên vs $x=\sqrt[3]{a};y=\sqrt[3]{b};z=\sqrt[3]{c}$ ta có:
$a+b+c=(\sqrt[3]{a})^3+(\sqrt[3]{b})^3+(\sqrt[3]{c})^3\geq 3\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}.\sqrt[3]{c}=3\sqrt[3]{abc}$