toán 9

[khoigrai]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CM:
$\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+...+n^{3}}=1+2+3+4+....+n$

 

[quynhphamdq]

Với $n=1$ thì đẳng thức hiển nhiên đúng.

Giả sử (1) đúng với $n=k$ tức là:
$\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+...+n^{3}}=1+2+3+4+....+n$
hay
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}=(1+2+3+...+k)^{2}$

Ta sẽ cm (1) đúng với $n=k+1$ tức là cm:

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}+(k+1)^3=(1+2+3+...+k+k+1)^{2}$

Thật vậy, ta có:

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}+(k+1)^3=(1+2+3+...+k+k+1)^{2}$

\Leftrightarrow$ (1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3})+(k+1)^3=(1+2+3+...+k)^2+(k+1)^2+2(1+2+3+...+k)(k+1)$

\Leftrightarrow $(k+1)^3=(k+1)^2+2(1+2+3+...+k)(k+1)$

Mà: $(k+1)^2+2(1+2+3+...+k)(k+1)=(k+1)^2+2.\frac{k(k+1)(k+1)}{2}=(k+1)^3$

Do đó (1) đúng với $n=k+1$

Theo nguyên lý quy nạp, ta có đpcm.
nguồn : diendantoanhoc