Toán 9

[thungan6a4]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho phân số $\dfrac{a}{b}$ tối giản. Chứng minh rằng phân số sau cũng tối giản:

$\dfrac{ab}{a^2 + b^2}$.​

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

$x^3 + y^3 - 6xy + 8 = 0$.​

3. Chứng minh : (a,b,c dương)
$\dfrac{a^3}{a^2 +ab+ b^2}$ + $\dfrac{b^3}{b^2 +bc+ c^2}$ + $\dfrac{c^3}{c^2 +ca+ a^2}$ \geq $\dfrac{a+b+c}{3} $

 

[hien_vuthithanh]

3. Chứng minh : (a,b,c dương)
$\dfrac{a^3}{a^2 +ab+ b^2}$ + $\dfrac{b^3}{b^2 +bc+ c^2}$ + $\dfrac{c^3}{c^2 +ca+ a^2}$ \geq $\dfrac{a+b+c}{3} $

$\dfrac{a^3}{a^2 +ab+ b^2}=a-\dfrac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\dfrac{ab(a+b)}{3ab}=a-\dfrac{a+b}{3}$

TT $\rightarrow \dfrac{a^3}{a^2 +ab+ b^2} + \dfrac{b^3}{b^2 +bc+ c^2} + \dfrac{c^3}{c^2 +ca+ a^2} \ge( a+b+c) -(\dfrac{a+b}{3}+\dfrac{b+c}{3}+\dfrac{a+c}{3})= \dfrac{a+b+c}{3} $

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1. $\dfrac{a}{b}$ tối giản nên $(a,b)=1$
Giả sử $p$ là một ước nguyên tố của $ab$, khi đó giả sử $p\mid a$ thì $p\nmid b$ nên $p\nmid a^2+b^2$, suy ra $(ab,a^2+b^2)=1$
Bài 2. Ta có $x^3+y^3-6xy+8=(x+y)^3-3xy(x+y)-6xy+8=0$ hay $(x+y+2)(x^2+y^2-xy-2x-2y+4)=0$
Đên đây bạn tự giải tiếp.
Bài 3.
Cách 1.
$\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}=a-\dfrac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}$
Tương tự cộng lại ta có điều phải chứng minh.
Cách 2.
Nếu không nắm được kỹ thuật biến đổi như AM-GM ngược dấu, ta có thể thiết lập bất đẳng thức này bằng UCT: $\dfrac{x^3}{x^2+x+1}\ge k(x-1)+\dfrac{1}{3}$
Ta tìm $k$ sao cho bất đẳng thức này đúng và có dấu đẳng thức đạt tại $x=1$, vậy là cần có $x=1$ hai lần và ta được $k=\dfrac{2}{3}$
Theo nguyên lý thuần nhất bất đẳng thức thì ta sẽ có $\dfrac{x^3}{x^2+xy+y^2}\ge \dfrac{2x-y}{3}$ với $x,y>0$
Cách 3.
Thấy rằng $a^3-b^3=(a-b)(a^2+b^2+ab)$ nên $\dfrac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}=a-b$
Tương tự rồi cộng lại ta có: $\sum \dfrac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}=0$ hay $\sum \dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\sum \dfrac{b^3}{a^2+ab+b^2}$
Do đó $2VT=\dfrac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\sum \dfrac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^2+ab+b^2}$
Mà $3(a^2-ab+b^2)\ge a^2+ab+b^2$ nên $2VT\ge \sum \dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2(a+b+c)}{3}$
Đây là điều ta cần chứng minh.