Toán 9

[hoangbnnx99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: CMR: $\frac{1}{4+1^{4}}+\frac{3}{4+3^{4}}+...+\frac{2n-1}{4+(2n-1)^{4}}=\frac{n^{2}}{4n^{2}+1}$
Bài 2: Giả sử x,y,z là những số thực thoả mãn điều kiện : 0\leqx,y,z\leq2 và x+y+z=3
Tìm max và min của $M=x^{4}+y^{4}+z^{4}+12(1-x)(1-y)(1-z)$

 

[congchuaanhsang]

Xử bđt trước :v

Đặt $a=x-1$ ; $b=y-1$ ; $c=z-1$ ta có:

$a,b,c \in [-1;1]$ và $a+b+c=0$

Khi đó $M=a^4+b^4+c^4+6(a^2+b^2+c^2)+3$

(do $a+b+c=0$ nên $a^3+b^3+c^3=3abc$ )

Nên $M$ \geq 3

$M_{min}=3$ \Leftrightarrow $x=y=z=1$

Mặt khác $a,b,c \in [-1;1]$ nên |a|, |b| , |c| \leq 1

\Rightarrow $M$ \leq $7(|a|+|b|+|c|)+3$

Trong 3 số $a,b,c$ luôn tồn tại 2 số cùng dấu

Giả sử 2 số đó là a và b thì $ab$ \geq 0

\Leftrightarrow $|a+b|=|a|+|b|=|c|$ (do $a+b+c=0$ )

\Leftrightarrow $M$ \leq $14|c|+3$ \leq 17

Vậy $M_{max}=17$ \Leftrightarrow Trong a,b,c có một số bằng 0 ; một số bằng 1 và một số bằng 2

 

[duchieu300699]

Bài 1: CMR: $A=\frac{1}{4+1^{4}}+\frac{3}{4+3^{4}}+...+\frac{2n-1}{4+(2n-1)^{4}}=\frac{n^{2}}{4n^{2}+1}$

congchua là dân nghiện bđt chính cống chắc :vvvv

$4A=\dfrac{1.4}{4+1^{4}}+\dfrac{3.4}{4+3^{4}}+...+\dfrac{(2n-1).4}{4+(2n-1)^{4}}$

Có: $k^4+4=k^2+4k^2+4-4k^2=(k^2+2)^2-(2k)^2$

$=(k^2-2k+2)(k^2+2k+2)=[(k-1)^2+1][(k+1)^2+1]$

Như vậy: $\dfrac{1.4}{4+1^{4}}=\dfrac{1.4}{4+1^{4}}=\dfrac{(2^2+1)-(0^2+1)}{(0^2+1)(2^2+1)}=1-\dfrac{1}{2^2+1}$

Tương tự: $\dfrac{3.4}{4+1^{4}}=\dfrac{(4^2+1)-(2^2+1)}{(2^2+1)(4^2+1)}=\dfrac{1}{2^2+1}-\dfrac{1}{4^2+1}$

............................

$\dfrac{(2n-1).4}{4+(2n-1)^{4}}=\dfrac{[(2n)^2+1]-[(2n-2)^2+1]}{[(2n)^2+1][(2n-2)^2+1]}=\dfrac{1}{(2n-2)^2+1}-\dfrac{1}{(2n)^2+1}$

Cộng vế theo vế ta được $4A=1-\dfrac{1}{(2n)^2+1}=\dfrac{4n^2}{4n^2+1}$ $\rightarrow$ $A=\dfrac{n^2}{4n^2+1}$