BD.CE = 2BI.CI \Rightarrow $\dfrac{BI}{DI}.\dfrac{CI}{CE} = \dfrac{1}{2}.$ (1)
Xét tam giác BEC có phân giác BI \Rightarrow $\dfrac{CI}{EI} = \dfrac{BC}{BE}$ \Rightarrow $\dfrac{CI}{CE} = \dfrac{BC}{BC + BE}.$ (2)
Có $\dfrac{BE}{AB} = \dfrac{CB}{CA} = \dfrac{a}{b}$ \Rightarrow $\dfrac{BE}{c - BE} = \dfrac{a}{b}.$
\Rightarrow b.BE = (c - BE).a \Rightarrow BE = $\dfrac{ac}{a+b}.$ (3)
Thay (3) vào (2) \Rightarrow $\dfrac{CI}{CE} = \dfrac{a+b}{a+b+c}.$ (*)
Tương tự với tam giác ABD \Rightarrow $\dfrac{BI}{DI} = \dfrac{AB}{AD}.$ (4)
Mặt khác c/m tương tự (3) \Rightarrow AD = $\dfrac{ab}{c+a}.$ (5)
Thay (4) vào (5) \Rightarrow $\dfrac{BI}{DI} = \dfrac{c+a}{a+b+c}.$ (**)
Thay (*) và (**) vào (1) ta được $\dfrac{a+b}{a+b+c}.\dfrac{c+a}{a+b+c} = \dfrac{1}{2}.$
Giải ra được $a^2 = b^2 + c^2$ \Rightarrow đpcm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn