Cho đường tròn (O1), (O2) có bán kính bằng R, cắt nhau tại A,B. Qua A vẽ cát tuyến cắt 2 đtròn (O1) và (O2) thứ tự tại E,F.
a, CMR: BE = BF
b, Một cát tuyến wa A và vuông góc với AB, cắt (O1), (O2) lần lượt tại C,D.Đường thẳng EC, DF cát nhau tại P.Cm tgiac BEPF nt và t giác BCPD nt
c, BP vuông góc với EF
d, Tính S phần giao nhau của 2 đtròn khi AB = R
Giải
a) Ta có:
$widehat{AEB}$ là góc nội tiếp chắn cung AB của đtròn tâm O
$widehat{AFB}$ là góc nội tiếp chắn cung AB của đtròn tâm O'
$\rightarrow \widehat{AEB}=\widehat{AFB}$( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau của 2 đường tròn bằng nhau)
$\rightarrow \triangle EBF$ cân
$\rightarrow BE=BF$
b)Tứ giác BEPF nội tiếp vì có tổng 2 góc đối bằng $180^o$ (bạn tự chứng minh)
* Xét $\triangle BCE và \triangle BDF$
Có: BC= BD =R
......BE=BF (CMT)
......$\widehat{BEC}=\widehat{BFD}$
$\rightarrow \triangle BCE =\triangle BDF$ (ch+ cgv)
$\rightarrow \widehat{BDF}=\widehat{BCE}$
$\rightarrow$ Tứ giác BCPD nội tiếp (góc trong = góc ngoài đỉnh đối)
c) Vì tứ giác BCPD nội tiếp
$\rightarrow \widehat{BCD}=\widehat{BPD}$
Vì tứ giác ADEF nội tiếp
$\rightarrow \widehat{AFD}=\widehat{ABD}$
Mà $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}$(cm dễ dàng)
nên $\widehat{AFD}=\widehat{ABC}$
mà $\widehat{BCD}+\widehat{ABC}=90^o$
$\rightarrow \widehat{BPD}+\widehat{AFD}=90^o$
$\rightarrow \widehat{FAP}=90^o$
$\rightarrow BP\bot EF$
d) Diện tích phần giao nhau giữa 2 đường tròn bao gồm 2 hình viên phân bằng nhau ghép lại
Xét hình quạt OAB
$S_{vp}= S_{hq}-S_{\triangle AOB}$
Đường cao ứng với cạnh AB của tg OAB là: $R^2-\dfrac{R^2}{4} = \dfrac{3R^2}{4}$
$\rightarrow R=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$
$\rightarrow S_{tg}= (\dfrac{R\sqrt3}{2}.R):2= \dfrac{R^2\sqrt3}{4}$
$\triangle ABO$ đều nên $\widehat{AOB}=60^o$
Độ dài cung AB là: $\dfrac{\pi R60^o}{180}=\dfrac{\pi R}{3}$
$\rightarrow$ Diện tích hình quạt tròn là: $ \dfrac{\pi R}{3}.\dfrac{R}{2}= \dfrac{\pi R^2}{6}$
$S_{vp}= \dfrac{\pi R^2}{6}-\dfrac{R^2\sqrt3}{4}=\dfrac{R^2(2\pi-3\sqrt3)}{12}$
Diện tích phần giao nhau là: $\dfrac{R^2(2\pi-3\sqrt3)}{12}. 2= \dfrac{R^2(2\pi-3\sqrt3)}{6}$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
@-)@-):|