Toán 9

[chung_9a12]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c>0 và abc = 1. CMR:
1/a^3.(b +c) + 1/b^3.(c +a) + 1/c^3.(a + b) >hoặc = 3/2

Ai pro giúp mình nha! TKS NHIỀU

 

[son9701]

Cho a,b,c>0 và abc = 1. CMR:
1/a^3.(b +c) + 1/b^3.(c +a) + 1/c^3.(a + b) >hoặc = 3/2

Ai pro giúp mình nha! TKS NHIỀU

Lưu ý latex nhá.
Ta có:

$VT = \frac{a^2b^2c^2}{a^3(b+c)}+\frac{a^2b^2c^2}{b^3(c+a)}+\frac{a^2b^2c^2}{c^3(a+b)} =\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{a^2c^2}{bc+ba}+\frac{a^2b^2}{ac+ca}$

Đến đây áp dụng bất đẳng thức (dễ cminh):
[TEX]\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}+\frac{x_3^2}{y_3} \geq \frac{(x_1+x_2+x_3)^2}{y_1+y_2+y_3}[/TEX]

Ta đc:
$VT$ \geq $\frac{(ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)}=\frac{ab+bc+ca}{2}$ \geq $\frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}$ (áp dụng AM-GM)

 

[thientai_giangnamhaokiet]

1.Gọi x1,x2 là nghiệm của phương trình:
[TEX]x^2-(m-1998)x-1=0[/TEX]
Tìm Min của:
A=[TEX]\frac{3}{2}(x1-x2)^2+2(\frac{x1-x2}{2}+\frac{1}{x1}-\frac{1}{x2})[/TEX]
2.[TEX]\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x-2}- \sqrt{y-2}= (y-x)(xy+1998) \\ x^2+y^2=1998 \end{array} \right.[/TEX]
3.Cho tam giác ABC,M,N,P lần lượt trên BC,AC,AB.Gọi S1,S2,S3,S là diện tích S(APN),S(BPM),S(CMN) và S(ABC).Cm:
[TEX] \sqrt{S1}+ \sqrt{S2}+ \sqrt{S3}\le \ \frac{3}{2}\sqrt{S}[/TEX]
4.Cho a,b,c tm: [TEX]ax^2[/TEX]+bx+c=0 (vô nghiệm) và 0<a<b
CMR: [TEX]\frac{a+b+c}{b-a} > 3[/TEX]
5.Cho các số a,b thỏa mãn [TEX]a^3-3ab^2=19 ; b^3-a^2b=98[/TEX]
Tính [TEX]a^2+b^2[/TEX]
6.Cho a,b,c thuộc khoảng [0;1].Cm: [TEX]a+b^2+c^3-ab-bc-cd \le \ 1[/TEX]

 

[son9701]

4.Cho a,b,c tm: [TEX]ax^2[/TEX]+bx+c=0 (vô nghiệm) và 0<a<b
CMR: [TEX]\frac{a+b+c}{b-a} > 3[/TEX]
5.Cho các số a,b thỏa mãn [TEX]a^3-3ab^2=19 ; b^3-a^2b=98[/TEX]
Tính [TEX]a^2+b^2[/TEX]
6.Cho a,b,c thuộc khoảng [0;1].Cm: [TEX]a+b^2+c^3-ab-bc-cd \le \ 1[/TEX]

Câu 4:thi ĐHKHTN-ĐHQGHN rồio b>a nên kết luận ta đưa về chứng minh:
[TEX]4a+c > 2b[/TEX]
Thật vậy: Do pt giả thiết vô nghiệm nên [TEX]b^2 < 4ac[/TEX]
Vì a>0 nên từ đây suy ra c>0 và:
[TEX]4a+c \geq 2\sqrt{4ac} > 2\sqrt{b^2}=2b[/TEX](bđt cô-si)
Vậy ta có đpcm.
Câu 5: Bình phương 2 vế pt thứ nhất và thứ 2 lên đc: [TEX]a^6+9a^2b^4-6a^4b^2=19^2;b^6+9a^4b^2-6a^2b^4=98^2[/TEX]
Cộng theo vế 2 pt ta đc:
[TEX](a^2+b^2)^3 =19^2+98^2 \Rightarrow a^2+b^2 = \sqrt[3]{19^2+98^2}[/TEX]

Câu 6: Vì a;b;c thuộc đoạn [0;1] nên [TEX](a-1)(b-1)(c-1) \leq 0;abc \geq 0[/TEX]
hay [TEX]abc+a+b+c-ab-bc-ca-1 \leq 0 ; -abc \leq 0[/TEX]
Cộng theo vế 2 bđt này ta đc: [TEX]a+b+c-ab-bc-ca \leq 1[/TEX]
Cũng vì a;b;c thuộc đoạn [0;1] nên [TEX]b^2 \leq b;c^3 \leq c[/TEX]
nên [TEX]a+b^2+c^3-ab-bc-cd \leq a+b+c-ab-bc-ca \leq 1 [/TEX](đpcm)