Toán 9

[rinnegan_97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm Max của :

[TEX]\frac{ab}{ \sqrt{ab+2c}}+ \frac{bc}{ \sqrt{bc+2a}}+ \frac{ca}{ \sqrt{ca+2b}}[/TEX], bik a+b+c=2, a,b,c là các số thực dương

cho: a+b=4ab, CMR:

[TEX]\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq\frac{1}{2}[/TEX] , a,b là các số thực dương

 

[bosjeunhan]

Bạn có thể post bài vô đây

Câu a
Ta có:
[TEX]ab+2c=(a+c).(b+c) (Do a+b+c=2)[/TEX]
[TEX]\frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+c} \geq \frac{2}{\sqrt[]{(a+c).(b+c)}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{2}.(\frac{ab}{b+c}+\frac{ab}{a+c})\geq \frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}[/TEX]
Tương tự rồi cộng theo vế ta được:
[TEX]\sum\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}} \leq \frac{1}{2}.(\sum\frac{ab}{b+c}+ \sum\frac{ac}{b+c}) = \frac{a+b+c}{2}=1[/TEX]

Vậy MAX của BT=1
Dấu "=" có \Leftrightarrow a=b=c=2/3

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu b bạn ơi, lấy c ở dâu ra vậy bạn phải là cho a+b=4ab chứ
Cách giải như sau
Ta có:
[TEX](a+b)^2\geq 4ab ( AM-GM )[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a+b)^2 \geq a+b (Do a+b=4ab)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a+b \geq 1 (Do a,b>o)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2.(a+b) \geq a+b+1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{a+b}{a+b+1} \geq \frac{1}{2}[/TEX]
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có
[TEX](a+b)^2 \leq (\frac{a}{4b^2+1} + \frac{b}{4a^2+1}).(4ab^2+a+4a^b+b) [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{a}{4b^2+1} + \frac{b}{4a^2+1} \geq \frac{(a+b)^2}{4ab.(a+b)+a+b} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{a}{4b^2+1} + \frac{b}{4a^2+1} \geq \frac{(a+b)^2}{(a+b)^2+a+b} = \frac{a+b}{a+b+1} \geq \frac{1}{2} (Do a+b=4ab)[/TEX]
Dấu "=" có \Leftrightarrow a=b=1/2