[Toán 9]$x^4+y^4+z^4\geq x^3+y^3+z^3$

[lequynh9ayt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,Cho x,y,z thuộc R;$x+y+z=3$
CMR $x^4+y^4+z^4\geq x^3+y^3+z^3$

2, Cho a,b,c thuộc R; $a+b+c=6$
CMR $a^4+b^4+c^4\geq 2(a^3+b^3+c^3)$

3,Cho $a,b,c>0 ; a+b+c=3$
CMR $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ca$

 

[minhtuyb]

1/
$$x^4+y^4+z^4\ge x^3+y^3+z^3\\ \Leftrightarrow 3(x^4+y^4+z^4)\ge (x+y+z)(x^3+y^3+z^3)\\\Leftrightarrow 2(x^4+y^4+z^4)\ge xy(x^2+y^2)+yz(y^2+z^2)+zx(z^2+x^2) \text{(Khai triển rồi nhóm)}$$
Đúng vì: $x^4+y^4\ge xy(x^2+y^2);...$ theo Cauchy
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1\ \square$

2/ Nhân tương tự
3/
$$a^2+\sqrt{a}+\sqrt{a}\ge 3a$$
... (tương tự với $b,c$)
Cộng lại ta có:
$$a^2+b^2+c^2+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\ge 3(a+b+c)\\ \Leftrightarrow 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\ge (a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)...$$

 

[hthtb22]

Bài 1,2:
Sử dụng bđt:
$3(x^4+y^4+z^4) \ge (x+y+z)(x^3+y^3+z^3)$
Chứng minh bằng cách biến đổi tương đương .
Bài 3:
Sử dụng bđt:
$a^4+a+a \ge 3a^2$
P/s: Post chậm

 

[vy000]

Giúp thì giúp cho trót:
3.Ta có:
$a^2+\sqrt[]{a}+\sqrt[]{a} \ge 3a$

$b^2+\sqrt[]{b}+\sqrt[]{b} \ge 3b$

$c^2+\sqrt[]{c}+\sqrt[]{c} \ge 3c$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2(\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b}+\sqrt[]{c}) \ge 3(a+b+c)=(a+b+c)^2$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b}+\sqrt[]{c}) \ge a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow \sqrt[]{a}+\sqrt[]{b}+\sqrt[]{c} \ge ab+bc+ca$