[Toán 9] $x^3+y^3 ge 2$

[harzyhienpham]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho x; y; z là ba số không âm và không vượt quá 1. Chứng minh:
$x^2.y + y^2.z + z^2.x\ge x^2+y^2+z^2+xyz$
2. Cho x; y; z dương thuộc [0; 10] và $x+y+z = 15$. Tìm GTLN của$ S = x^3+y^3+z^3$
3. Giả sử x; y; z dương thay đổi thỏa mãn $x+y+z \le \dfrac{3}{2}$. Tìm GTNN của
$S =\sum\dfrac{ 2x^3+y}{x^2}$
4. Cho các số dương x; y biết $x+y+xy=3.$ Chứng minh$ x^3+y^3 \le 2$

 

[nholen11]

Từ giả thiết: 0 =< x,y,z =< 1
hotboy_pp_9x: suy ra: (1-x)(1-y)(1-z) >=0
rồi lại tiếp tục nhờ giả thiết lại suy ra được một số BĐT nữa từ đó ==> dpcm

 

[minhtuyb]

Bài 3:
$$S=2x+2y+2z+\dfrac{y}{x^2}+\dfrac{z}{y^2}+\dfrac{x}{z^2}\\ =(2x+2y+2z+\dfrac{y}{2x^2}+\dfrac{z}{2y^2}+\dfrac{x}{2z^2})+\dfrac{y}{2x^2}+\dfrac{z}{2y^2}+\dfrac{x}{2z^2}\\ \ge 6\sqrt[6]{2x.2y.2z.\dfrac{y}{2x^2}.\dfrac{z}{2y^2}.\dfrac{x}{2z^2}}+3\sqrt[3]{\dfrac{y}{2x^2}.\dfrac{z}{2y^2}.\dfrac{x}{2z^2}}\\ =6+3\sqrt[3]{\dfrac{1}{8xyz}}\\ \ge 6+3\sqrt[3]{\dfrac{1}{8\dfrac{(x+y+z)^3}{27}}}\\ \ge 6+3\sqrt[3]{\dfrac{1}{8\dfrac{(\dfrac{3}{2})^3}{27}}}\\ =6+3=9\ (const)$$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{2}\ \square$

--------------------
Bài 4 đề phải là $x^3+y^3\ge 2$.
Gợi ý:
$$x^3+1+1\ge 3x\\ y^3+1+1\ge 3y\\ x^3+y^3+1\ge 3xy$$

 

[hthtb22]

Bài 4:
$A=x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$
Đặt $x+y=m;xy=n$
Ta có $m+n=3$
$A=m^3-3mn=m^3-3m(3-m)=(m-2)(m^5+5m+1)+2$
Mà $m^2 \ge 4n$
nên $m^2 \ge 4(3-m)$
\Rightarrow $(m-2)(m+6) \ge 0$
\Rightarrow $m-2 \ge 0$

Vậy $x^3+y^3 \ge 2$
Dấu = xảy ra khi $x=1;y=1$