[Toán 9] Violympic

[leminhnghiatt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Nếu pt $x^4 + ax^3 + bx^2 + ax + 1 = 0$ có nghiệm thì GTNN của $a^2 + b^2$ là bao nhiêu?
xin mấy bạn đọc kĩ đề kẻo nhầm với bài ở vòng 17!

 

[hien_vuthithanh]

$x=0$ không phải là nghiệm

Với $x\not =0$ thì:

$x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$

\Leftrightarrow$ x^2+\dfrac{1}{x^2}+a(x+\dfrac{1}{x})+b=0$

\Leftrightarrow $t^2-2+at+b=0$ với $t=x+\dfrac{1}{x}(|t|\ge 2)$

Ta có: $t^2-2+at+b=0$

\Leftrightarrow $(2-t^2)^2=(at+b)^2\le (a^2+b^2)(1+t^2)$

\Rightarrow $a^2+b^2\ge \dfrac{(2-t^2)^2}{1+t^2}\ge \dfrac{4}{5}$

\Leftrightarrow $(m^2-4)(5m^2-4)\ge 0$ ( luôn đúng )

Vậy $Min(a^2+b^2)=\dfrac{4}{5}$

Nguồn : VMF​