[Toán 9] Viết công thức tìm nhiệm là các số tự nhiên của phương trình

[leehyo]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bài 1: Viết công thức tìm nhiệm là các số tự nhiên của phương trình
2X^2+x=Y^2+y
bài 2; Tìm 1 số m lớn hơn tất cả các số hạng có chỉ số lẻ và nhỏ hơn tất cả số hạng có chỉ số chẵn của dãy trên.
Bạn nào giải chi tiết mình đều thank hết.

 

[minhtuyb]

$pt\Leftrightarrow x^2-y^2+x^2+x-y=0\\ \Leftrightarrow (x-y)(x+y+1)=-x^2\\ \Leftrightarrow (y-x)(x+y+1)=x^2\ (1)$
Đặt $(y-x,x+y+1)=d \in \mathbb{N^*}\rightarrow y-x=da;x+y+1=db\ (2)$ với $a,b\in \mathbb{N};(a;b)=1$. Thế vào $(1)$ ta có:
$$d^2ab=x^2\\ \Rightarrow \text{ab là số chính phương} \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=m^2\\ b=n^2\end{matrix}\right. \text{(Do (a,b)=1)}$$
Thế vào $(2)$ ta có:
$$\left\{\begin{matrix}y-x=dm^2\\ x+y+1=dn^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y-x=dm^2\\ 2y+1=d(m^2+n^2)\ (3)\end{matrix}\right.$$
-Từ $(3)\Rightarrow d$ lẻ $(4)$. Mặt khác hệ trên tương đương với:
$$\left\{\begin{matrix}x=\dfrac{dn^2-1}{2}\ (5)\\ y=\dfrac{d(m^2+n^2)-1}{2}\ (6)\end{matrix}\right.$$
-Từ $(4);(5)\Rightarrow n$ lẻ $(7)$
-Từ $(4);(6);(7)\Rightarrow m$ chẵn
Đặt $d=2p+1;m=2q;n=2r+1$ với $p,q,r\in \mathbb{N}$ thì:
$$\left\{\begin{matrix}x=\dfrac{(2p+1)(2r+1)^2-1}{2}=4pr^2+4pr+2r^2+2r+p\in \mathbb{N}\\ y=\dfrac{(2p+1)[4q^2+(2r+1)^2]-1}{2}=4pq^2+2q^2+4pr^2+4pr+2r^2+2r+p\in \mathbb{N}\end{matrix}\right.$$
Thử lại ...