[Toán 9] Tuyển sinh vào 10

[ga_cha_pon9x]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực dương.CMR:
[tex]\frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c} \geq 4(\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})[/tex]

Hix,Latex >"<

Bosjeunhan: Sửa cho nàng roài đóa
Ga_cha_pon9x:Tks bò :x

 

[mitd]

Ta có

[TEX]4(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b})[/TEX]

[TEX]= a(\frac{4}{b+c})+b(\frac{4}{a+c})+c(\frac{4}{a+b}) \leq a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) + b(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}) + c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) = \frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}[/TEX]

Đẳng thức xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a=b=c[/TEX]

 

[bosjeunhan]

Bài này đã được tại lời tại đây

Lời giải:

Bất đẳng thức tương đương:

[TEX](\frac{a}{b}+\frac{a}{c})+(\frac{b}{a}+\frac{b}{c})+\frac{b}{a})+(\frac{c}{b}+\frac{c}{a}) \geq \frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{4c}{a+b}[/TEX]

Vậy ta cần chứng minh:

[TEX]\frac{a}{b}+\frac{a}{c} \geq \frac{4a}{b+c}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{4}{b+c}[/TEX]

Bất đẳng thức luôn đúng, suy ra ĐPCM