[Toán 9] Tổng hợp

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cực trị số học.
Bài toán. Cho các số nguyên không âm $a,b$ sao cho $a+b=2014$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $A=a!b!$
Bài toán tổng quát. Cho $n$ số nguyên dương $a_1, a_2,...,a_n$ sao cho $a_1+a_2+...+a_n=m$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a_1!a_2!...a_n!$
Lập luận tổ hợp.
Bài toán. Cho $x_1, x_2,...,x_n$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng: $\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1x_2...x_n}$
Số học.
Bài toán. Cho các số nguyên dương $a,b$ và số nguyên tố $p$. Chứng minh rằng $p\mid a^p-b^p\rightarrow p^2\mid a^p-b^p$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1. Giả sử $A$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $a=x$ và $b=y$, không mất tính tổng quát, giả sử $x\ge y$
Nếu $x\ge y+2$ thì $x-1\ge y+1$, khi đó $(x-1)!(y+1)!=x!y!.\dfrac{y+1}{x}<x!y!$, điều này vô lý.
Do đó $y\le x<y+2$, mà $x,y$ cùng tính chẵn lẻ nên $x=y$
Tìm giá trị lớn nhất tương tự như trên, đảo lại thôi.
Bài tổng quát làm dài, lười ghi, nhưng ý tưởng vẫn y vậy.
Bài 3. Ai giúp bài này.
Bài 4. Theo định lý Fermat nhỏ: $a^p-b^p\equiv a-b\pmod{p}$
Khi đó $a\equiv b\pmod{p}$ nên $a^{p-1}+a^{p-2}b+...+ab^{p-2}+b^{p-1}\equiv pa^{p-1}\equiv 0\pmod{p}$ nên $a^p-b^p=(a-b)(a^{p-1}+a^{p-2}b+...+ab^{p-2}+b^{p-1})$ chia hết cho $p^2$