[Toán 9] Tổng hợp những bài toán chọn lọc

[hoangtubongdem5]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người giải chi tiết hoặc giải thích kỹ những chỗ khó hiểu giúp mình, mình xin cảm ơn nhiều

1. a/ Giải htp : [tex]\left\{ \begin{array}{l} x+y+z =3 \\ xy+yz+xz=-1\\ x^3+y^3+z^3+6 = 2(x^2+y^2+z^2) \end{array} \right.[/tex]

b/ Cho a,b,c dương thỏa a+b+c \leq 2

Chứng minh: [TEX]\sqrt[]{a^2+\frac{1}{b^2}} + \sqrt[]{b^2+\frac{1}{c^2}} + \sqrt[]{c^2+\frac{1}{a^2}} \geq \frac{\sqrt[]{97}}{2}[/TEX]

2. a/ Tìm các số nguyên dương x,y thỏa
[TEX]x=\sqrt[]{2x(x-y)+2y-x+2}[/TEX]

b/Cho phương trình x^2+(m-1)x-6 =0
Tìm các giá trị của m để pt có 2 nghiệm x_1,x_2 thỏa
[TEX]A = (x_{1}^2-9)(x_{2}^2-4)[/TEX] đạt giá trị lớn nhất

3. a) Giải hệ : [tex]\left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2-xy=3 \\ x^3+y^3=9 \end{array} \right.[/tex]

b) Tìm x,y thuộc Z thỏa: [TEX]x^3+2x^2+3x+2=y^3[/TEX]

4. Gọi M,N là trung điểm các cạnh BC,CD của tứ giác lồi ABCD. Chứng minh [TEX]S_{ABCD} \leq \frac{1}{2}(AM+AN)^2[/TEX]

5. Tìm mọi nghiệm nguyên của phương trình
a/ [TEX]\frac{x+y}{x^2-xy^2} =\frac{3}{7}[/TEX]
b/ [TEX]x^2(y-5)-xy=x-y+1[/TEX]

6.Giải phương trình
a/ [TEX]\sqrt[]{4x^2+5x+1}-2\sqrt[]{x^2-x+1} = 9x-3[/TEX]
b/ [TEX]\sqrt[]{x^2-\frac{7}{x^2}} + \sqrt[]{x-\frac{7}{x^2}}=x[/TEX]

 

[hien_vuthithanh]

b/ Cho a,b,c dương thỏa $a+b+c \le 2$

Chứng minh: $\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}} + \sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}} + \sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}} \ge \dfrac{\sqrt{97}}{2}$

$\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}} + \sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}} + \sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}} \ge \sqrt{(a+b+c)^2+(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})^2}\ge \sqrt{(a+b+c)^2+(\dfrac{9}{a+b+c})^2}$

Đặt $t=a+b+c \le 2$

$\rightarrow BĐT \ge \sqrt{t^2+\dfrac{81}{t^2}} =\sqrt{t^2+\dfrac{16}{t^2}+\dfrac{65}{t^2}} \ge \sqrt{2.\sqrt{16}+\dfrac{65}{2^2}}= \dfrac{\sqrt{97}}{2}$

 

[hien_vuthithanh]

3. a) Giải hệ : [tex]\left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2-xy=3 \\ x^3+y^3=9 \end{array} \right.[/tex]

Hệ $\leftrightarrow\left\{\begin{matrix}& (x+y)^2-3xy=3& \\ & (x+y)^3-3xy(x+y)=9 & \end{matrix}\right.$

Đặt $ a=x+y ,b=xy \rightarrow Hệ \leftrightarrow \left\{\begin{matrix}& a^2-3b=3 & \\ & a^3-3ab=9 & \end{matrix}\right.$

$\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}& a^2-3b=3 & \\ & a(a^2-3b)=9&\end{matrix}\right.$

$\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}& a^2-3b=3 & \\ & a=3 & \end{matrix}\right.$

$\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}& a=3 & \\ & b=2 & \end{matrix}\right.$

Giải tìm $x,y$

 

[lp_qt]

Câu 6

a. $\sqrt{x^2-\dfrac{7}{x^2}} + \sqrt{x-\dfrac{7}{x^2}}=x \Longleftrightarrow \sqrt{x^2-\dfrac{7}{x^2}} =x-\sqrt{x-\dfrac{7}{x^2}}$

$ \Longrightarrow x^2-\dfrac{7}{x^2} =x^2+x-\dfrac{7}{x^2}-2x.\sqrt{x-\dfrac{7}{x^2}} \Longleftrightarrow x=2x.\sqrt{x-\dfrac{7}{x^2}}$

b. $\sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1} = 9x-3 \Longleftrightarrow a-b=a^2-b^2 \left\{\begin{matrix}a=\sqrt{4x^2+5x+1} & \\ b= 2\sqrt{x^2-x+1}& \end{matrix}\right. (a;b \ge 0)$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1.
(a) Từ phương trình 3 ta suy ra: $(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=x-1+y-1+z-1=0$
Do đó $(x-1)(y-1)(z-1)=0$
(b) Fininshed!
Bài 2.
(a) Bình phương hai vế ta được:
$2x^2-x-2xy+2y+2=0$, nếu $x=1$ thì không thỏa nên $x\ge 2$
Do đó $y=\dfrac{2x^2-x+2}{2(x-1)}=x+2-\dfrac{3(x-2)}{2(x-1)}$
Do đó $x+2\ge y> x-1$, thay vào ra được $x=2$ hoặc $x=4$
Thay vào tìm $y$
(b) Ta có $A=(x_1^2-9)\left(\dfrac{36}{x_1^2}-4\right)=\dfrac{-4(x_1^2-9)^2}{x_1^2}\le 0$
Do đó cần có một nghiệm bằng $3$ hoặc $-3$
Đến đây thay vào tìm $m$
Bài 3.
(a) Finished!
(b) Xét $x=0$ thì không thỏa.
Xét $x\ge 1$ hoặc $x\le -1$ thì $x^3< x^3+2x^2+3x+2=y^3 \le (x+1)^3$ nên $x^3+2x^2+3x+2=(x+1)^3$ hay $x=\pm 1$
Thay vào tìm $y$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 4.
Có $VP\ge 4S_{AMN}$ nên ta cần chứng minh $S_{AMN}\ge S_{CNM}$
Cái này dễ.