[Toán 9] Toán cực trị

[minhducnguyen_2000@yahoo.com.vn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho $x^3+y^3+3(x^2+y^2)+4(x+y)+4=0$ và $xy>0$
Tìm GTLN của $M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$
2. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn $x+y+z=1$
Tìm GTNN: $F=\frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4}{(z^2+x^2)(z+x)}$

 

[vipboycodon]

Bài 1:
$x^3+y^3+3(x^2+y^2)+4(x+y)+4 = 0$
<=> $(x+1)^3+(y+1)^3+x+1+y+1 = 0$
Đặt $x+1 = a$ , $y+1 = b$
PT <=> $a^3+b^3+a+b = 0 $
<=> $(a+b)(a^2-ab+b^2+1) = 0 $
<=> $a+b = 0$
<=> $x+y = -2$
Ta có: $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = \dfrac{x+y}{xy} \le \dfrac{-2}{\dfrac{(x+y)^2}{4}} = -2$

 

[eye_smile]

2,Xét $A=\dfrac{x^4-y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\dfrac{y^4-z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\dfrac{z^4-x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}=x-y+y-z+z-x=0$

\Rightarrow $2F=\dfrac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\dfrac{y^4+z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\dfrac{z^4+x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}$

Có $x^4+y^4 \ge \dfrac{(x^2+y^2)^2}{2}\ge \dfrac{(x^2+y^2)(x+y)^2}{4}$

\Rightarrow $\dfrac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)} \ge \dfrac{x+y}{4}$

\Rightarrow $2F \ge \dfrac{x+y+y+z+z+x}{4}=\dfrac{1}{2}$

\Rightarrow $F \ge \dfrac{1}{4}$