[Toán 9] Toán chia hết

[depvazoi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường trung trực d của đoạn thẳng AB tại điểm H cắt BD tại điểm M và cắt AC tại điểm N. Biết NS=a, MB=b, tính diện tích S của hình thoi ABCD khi a=2603,1931 cm, b=26032,012 cm.
2. a) CMR: $(14^8)^{2004} +10$ chia hết cho 11.
b) CMR: $222^{555} + 555^{222}$ chia hết cho 7.

 

[654321sss]

b) CMR: $222^{555} + 555^{222}$ chia hết cho 7.

Ta có $ 222^3 \equiv -1 (mod 7)$ \Rightarrow $ (222^3)^{185} \equiv -1 (mod 7)$

Lại có $555^3 \equiv 1 (mod 7)$ \Rightarrow $ (555^3)^{74}\equiv 1 (mod 7)$

Cộng lại ta được ĐPCM

 

[angleofdarkness]

2/

Có 14 [TEX]\equiv[/TEX] 3 (mod 11) \Rightarrow ${(14^8)}^{2004}$ [TEX]\equiv[/TEX] ${(3^8)}^{2004}$ (mod 11).

$3^8$ = 6561 [TEX]\equiv[/TEX] 5 (mod 11) \Rightarrow ${(3^8)}^{2004}$ [TEX]\equiv[/TEX] $5^{2004}$ (mod 11).

Dễ thấy chu kì của $5^x$ chia cho 11 là 5; 4; 9; 1 vì:

$5^1$ [TEX]\equiv[/TEX] 5 (mod 11).

$5^2$ [TEX]\equiv[/TEX] 4 (mod 11).

$5^3$ [TEX]\equiv[/TEX] 9 (mod 11).

$5^4$ [TEX]\equiv[/TEX] 1 (mod 11).

$5^5$ [TEX]\equiv[/TEX] 5 (mod 11).

$5^6$ [TEX]\equiv[/TEX] 4 (mod 11).

$5^7$ [TEX]\equiv[/TEX] 9 (mod 11).

$5^8$ [TEX]\equiv[/TEX] 1 (mod 11).

....
\Rightarrow $5^{2004}={(5^4)}^{501}$ [TEX]\equiv[/TEX] 1 (mod 11).

Mà 10 [TEX]\equiv[/TEX] 10 (mod 11) nên ${(14^8)}^{2004}$ [TEX]\equiv[/TEX] 0 (mod 11).

 

[angleofdarkness]

Tam giác AHN và MHB đồng dạng, nên: $\dfrac{HN}{HB}=\dfrac{AN}{MB}=\dfrac{a}{b}$\Rightarrow $HN=x.\dfrac{a}{b}$ (x = AH = HB).

Trong tam giác vuông AHN có $AN^2=HN^2+AH^2$ \Leftrightarrow $a^2=\dfrac{a^2x^2}{b^2}+x^2$ \Leftrightarrow $x^2=\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}$

Hai tam giác OAB và HAN đồng dạng, nên $\dfrac{OA}{HA}=\dfrac{OB}{HN}$ \Leftrightarrow $OB=OB.\dfrac{a}{b}.$

Trong tam giác vuông OAB: có $OA^2+OB^2=AB^2$ \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow $OA=\dfrac{2ab^2}{a^2+b^2}.$

\Rightarrow $OB=\dfrac{a}{b}.\dfrac{2ab^2}{a^2+b^2}=\dfrac{2a^2b}{a^2+b^2}.$

\Rightarrow $S_{ABCD}=...=\dfrac{8a^3b^3}{(a^2+b^2)^2}=....(cm^2).$